Rozdělení F

V teorii pravděpodobnosti a statistice je rozdělení F, známé také jako Snedecorovo nebo Fisherovo–Snedecorovo rozdělení (podle Ronalda Fishera a George W. Snedecora), spojité rozdělení pravděpodobnosti, které se často vyskytuje jako rozdělení testovací statistiky za předpokladu platnosti nulové hypotézy, a to u takzvaného F-testu, především v analýze rozptylu (ANOVA).^[1]

Náhodná proměnná mající rozdělení F s parametry d₁ a d₂ vzniká jako podíl dvou vhodně škálovaných nezávislých proměnných s rozdělením chí-kvadrát:^[2]

X = \frac{U_{1} / d_{1}}{U_{2} / d_{2}}

kde

U₁ a U₂ mají rozdělení chí-kvadrát s d₁ a d₂ stupňů volnosti a
U₁ a U₂ jsou nezávislé.

V případech, kdy se používá rozdělení F, například v analýze rozptylu, bývá nezávislost U₁ a U_2, dokazována použitím Cochranovy věty.

Definice

Nechť náhodná proměnná X má rozdělení F s parametry d₁ a d₂, což zapisujeme X ~ F(d₁, d₂). Pak hustota pravděpodobnosti (pdf) X je dána funkcí

$\begin{matrix} f (x; d_{1}, d_{2}) & = \frac{\sqrt{\frac{(d_{1} x)^{d_{1}} d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1} x + d_{2})^{d_{1} + d_{2}}}}}{x B (\frac{d_{1}}{2}, \frac{d_{2}}{2})} \\ = \frac{1}{B (\frac{d_{1}}{2}, \frac{d_{2}}{2})} {(\frac{d_{1}}{d_{2}})}^{\frac{d_{1}}{2}} x^{\frac{d_{1}}{2} - 1} {(1 + \frac{d_{1}}{d_{2}} x)}^{- \frac{d_{1} + d_{2}}{2}} \end{matrix}$

pro reálně x > 0, kde B je beta funkce. V mnoha aplikacích jsou parametry d₁ a d₂ přirozená čísla, ale distribuce je dobře definovaná pro libovolné kladné reálné hodnoty těchto parametrů.

Kumulativní distribuční funkce je