Rieszova věta o reprezentaci

Rieszova věta o reprezentaci je důležité matematické tvrzení z oboru funkcionální analýzy. Tato věta umožňuje reprezentovat funkcionály na Hilbertově prostoru skalárním součinem s jistým prvkem tohoto prostoru.

Znění

Pro každý spojitý lineární funkcionál $F:\mathscr{H}\to ℂ$ na Hilbertově prostoru $\mathscr{H}$ existuje jediný vektor $y\in \mathscr{H}$ takový, že:

$Fx=⟨x,y⟩\mathrm{\forall }x\in \mathscr{H}$.

A navíc:

$\Vert F\Vert =\Vert y\Vert$

Poznámky

Podmínka spojitosti funkcionálu je ekvivalentní s podmínkou omezenosti.

V dovětku je třeba správně rozlišovat druhy norem:

$\Vert F\Vert =\underset{\Vert x\Vert \le 1}{\sup }\Vert Fx\Vert$

ale

$\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$.

Využití

V praxi jsou skalární součiny často definovány nějakým vzorcem s použitím integrálu nebo lineární formou, v takových případech Rieszova věta zaručuje, že funkcionály je možné zapsat obdobným vzorcem. V teorii je Rieszova věta nezbytná pro zavedení sdružených operátorů, které jsou významné samy o sobě. Dále je této věty potřeba při zavádění duálních prostorů, které mají velké využití například v kvantové fyzice.

Důkaz

Nejprve ověříme korektnost tvrzení, tedy že taková reprezentace není v rozporu s linearitou a omezeností a funkcionálu:

$F(x+z)=⟨x+z,y⟩=⟨x,y⟩+⟨z,y⟩,F(\lambda x)=⟨\lambda x,y⟩=\lambda ⟨x,y⟩$

Obdobě omezenost, tu zajišťuje Cauchyho–Schwarzova nerovnost.

$|Fx|=|⟨x,y⟩|\le \Vert x\Vert \Vert y\Vert$

Nyní dokážeme, že požadovaný vektor musí vždy existovat.

Pro $F=0$ je důkaz triviální, předpokládejme tedy dále, že $F\ne 0$. $\mathrm{Ker}F$ je tedy uzavřený vlastní podprostor $\mathscr{H}$, existuje tedy nenulový vektor $z\mathrm{\perp }\mathrm{Ker}F$.

Označme $Gx=⟨x,\frac{\overline{Fz}}{\Vert z{\Vert }^2}z⟩$ a ukažme, že $F=G$.

Pro $x\in \mathrm{Ker}F$ platí: $Gx=0=Fx$.

Jelikož $z$ je libovolný a platí $\mathscr{H}=\mathrm{Ker}F\oplus \mathrm{Span}\{z\}$, stačí již jen ukázat, že:

$Gz=⟨z,\frac{\overline{Fz}}{\Vert z{\Vert }^2}z⟩=\frac{Fz}{\Vert z{\Vert }^2}⟨z,z⟩=Fz$

Můžeme ztotožnit $y=\frac{\overline{Fz}}{\Vert z{\Vert }^2}z$, takže existence je dokázána.

Jednoznačnost dokážeme sporem:

Předpokládejme, že existují dva vektory $y_1\ne y_2$, takové že: $Fx=⟨x,y_1⟩=⟨x,y_2⟩\mathrm{\forall }x\in \mathscr{H}$

Z toho plyne: $⟨x,y_1-y_2⟩=0\mathrm{\forall }x\in \mathscr{H}\Rightarrow (y_1-y_2)\mathrm{\perp }\mathscr{H}\Rightarrow y_1-y_2=0\Rightarrow y_1=y_2$, což je spor s předpokladem.

Zbývá dokázat dovětek:

Vezměme vektor $x$, takový, že $\Vert x\Vert \le 1$, pak platí:

$|Fx|=⟨x,y⟩\le \Vert x\Vert \Vert y\Vert \le \Vert y\Vert \Rightarrow \Vert F\Vert \le \Vert y\Vert$

Zároveň však: $|F(\frac{y}{\Vert y\Vert })|=|⟨\frac{y}{\Vert y\Vert },y⟩|=\Vert y\Vert$

Z čehož vyvodíme $\Vert F\Vert =\Vert y\Vert$. ∎