Prvočinitel

V oboru abstraktní algebry je prvočinitel takový prvek $p$ komutativního okruhu $R$, který není ani nulou ani jednotkou a který pro všechna $a,b\in R$ splňuje podmínku, že pokud $p$ dělí součin $ab$, pak $p$ dělí $a$ nebo $p$ dělí $b$.

Jedná se o zobecnění prvočísel. V případě celých čísel jsou prvočiniteli právě prvočísla a čísla k nim asociovaná, tedy prvočísla vynásobená $-1$, tedy čísla $2,-2,3,-3,5,-5,7,-7,11,-11,\dots$.

Vlastnosti

• Je-li prvek $c$ prvočinitelem, je prvočinitelem i prvek $c\cdot j$ pro libovolnou jednotku $j$
• V libovolném oboru integrity platí, že prvočinitel je vždy ireducibilním prvkem, ale opačně to obecně neplatí (příklad níže). V Gaussových oborech, kde platí analogie Základní věty aritmetiky, také platí, že každý ireducibilní prvek je prvočinitelem.
• Prvek $c$, který není jednotkou, je prvočinitelem právě tehdy, když je jím generovaný hlavní ideál $\left(c\right)$ nenulovým prvoideálem

Příklady

• například čísla $-2$ a $5$ (a mnohá jiná) v oboru celých čísel
• například prvek $2+i$ (a mnohé jiné) v oboru Gaussových celých čísel
• například mnohočlen $x^2+1$ (a mnohé jiné) v polynomiálním okruhu všech mnohočlenů s koeficienty z okruhu celých čísel
• v oboru integrity $\mathbb{Z}[i\sqrt{5}]$, jehož prvky jsou čísla tvaru $a+bi\sqrt{5}$ pro $a,b\in \mathbb{Z}$, je sice číslo 2 ireducibilním prvkem, ale přestože dělí číslo 6, nedělí ani jeden z činitelů $(1+i\sqrt{5})\cdot (1-i\sqrt{5})=6$, tedy se nejedná o prvočinitele.
• protože všechny prvky těles jsou buď nulou nebo jednotkami, neobsahují tělesa žádné prvočinitele