Prüferův obor

Prüferův obor je pojem z matematiky, konkrétněji z teorie okruhů. Jedná se o obory, které sdílejí vlastnosti s Dedekindovými obory, přestože nemusí být noetherovské. Tvrzení o ideálech a modulech známá v případě Dedekindových oborů pro ně ovšem platí jen v případě konečně generovaných modulů. Prüferovy okruhy nesou své jméno po německém matematikovi Heinzovi Prüferovi.

Definice

Prüferův okruh je takový komutativní okruh bez dělitelů nuly, v kterém je každý konečně generovaný ideál invertibilní vzhledem k násobení ideálů.

Existuje ovšem velké množství ekvivalentních definic. Například kterákoliv z následujících vlastností je v případě oboru integrity $R$ ekvivalentní tomu, že se jedná o Prüferův obor:

• Každý nenulový konečně generovaný ideál $I$ oboru $R$ je invertibilní, to jest $I\cdot I^{-1}=R$, kde $I^{-1}=\{r\in q(R):rI\subseteq R\}$ a $q(R)$ je podílové těleso.
• Každý nenulový ideál generovaný dvěma prvky je invertibilní.
• Pro libovolné nenulové (konečně generované) ideály $I,J,K$ z $R$ platí $I\cap (J+K)=(I\cap J)+(I\cap K)$.
• Pro libovolné nenulové (konečně generované) ideály $I,J,K$ z $R$ platí $I(J\cap K)=IJ\cap IK$.
• Pro libovolné nenulové (konečně generované) ideály $I,J,K$ z $R$ platí $(I+J)(I\cap J)=IJ$.
• Pro libovolné nenulové (konečně generované) ideály $I,J,K$ z $R$ platí, že pokud $IJ=IK$, pak $J=K$ nebo $I=0$.

Vlastnosti

• Pokud $R$ je Prüferův obor a $K$ je jeho podílové těleso, pak je Prüferův i každý okruh $S$ splňující $R\subseteq S\subseteq K$.

Příklady

• Okruh všech celých funkcí v otevřené komplexní rovině $ℂ$ je Prüferův obor.