Paralelní přenos (geometrie)

Paralelní přenos je způsob, jakým lze vytvořit rovnoběžný vektor k jinému vektoru v libovolně zakřiveném prostoru (nebo prostoročase).

Odvození

Mějme v lokálním inerciálním systému dva body a mezi nimi libovolnou křivku, jejíž parametrizaci označíme jako $\lambda$. V jednom z těchto bodů mějme vektor $V{\text{'}}^{\alpha }$ (index $\alpha$označuje jeho složky). Vektor k němu rovnoběžný ve druhém bodě vytvoříme tak, že budeme $V{\text{'}}^{\alpha }$ přenášet podél definované křivky paralelně, tj. za splněné podmínky

$\frac{\mathrm{d}V{\text{'}}^{\alpha }}{\mathrm{d}\lambda }=0$ .

Vektor, který je rovnoběžný ke křivce, označíme $u$. Z definice platí pro jeho složky

$u^{\beta }=\frac{\mathrm{d}{\xi }^{\beta }}{\mathrm{d}\lambda }$,

kde ${\xi }^{\beta }$ značí složky polohového vektoru v lokálním inerciálním systému. Pak z předchozí rovnice plyne

$\frac{\mathrm{d}{V}^{\alpha }}{\mathrm{d}\lambda }=\frac{\partial V^{\alpha }}{\partial {\xi }^{\beta }}\frac{\mathrm{d}{\xi }^{\beta }}{\mathrm{d}\lambda }={V^{\alpha }}_{,\beta }{u}^{\beta }=0$

(zde symbol $,\beta$ znamená derivaci podle souřadnice).

Označíme-li polohové vektory v obecných souřadnicích $x$, pak transformace vektoru $V^{\prime }(\xi )$ na $V(x)$ je dána vztahem

$V{\text{'}}^{\alpha }=\frac{\partial {\xi }^{\alpha }}{\partial x^{\mu }}{V}^{\mu }$

Po dosazení do první rovnice dostaneme

$\frac{\mathrm{d}V{\text{'}}^{\alpha }}{\mathrm{d}\lambda }=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda }\left(\frac{\partial {\xi }^{\alpha }}{\partial x^{\mu }}{V}^{\mu }\right)=\frac{{\partial }^2{\xi }^{\alpha }}{\partial x^{\sigma }\partial x^{\mu }}\frac{\mathrm{d}{x}^{\sigma }}{\mathrm{d}\lambda }{V}^{\mu }+\frac{\partial {\xi }^{\alpha }}{\partial x^{\mu }}\frac{\mathrm{d}{V}^{\mu }}{\mathrm{d}\lambda }=0$.

Přeznačením indexů u prvního výrazu z $\mu$ na $\nu$ a vynásobením $\frac{\partial x^{\mu }}{\partial {\xi }^{\alpha }}$ přejde rovnice na

$\frac{\partial x^{\mu }}{\partial {\xi }^{\alpha }}\frac{{\partial }^2{\xi }^{\alpha }}{\partial x^{\sigma }\partial x^{\nu }}\frac{\mathrm{d}{x}^{\sigma }}{\mathrm{d}\lambda }{V}^{\nu }+\frac{\mathrm{d}{V}^{\mu }}{\mathrm{d}\lambda }=0$,

což lze také zapsat jako

$\frac{\mathrm{d}{V}^{\mu }}{\mathrm{d}\lambda }+{{\mathrm{\Gamma }}^{\mu }}_{\sigma \nu }{u}^{\sigma }{V}^{\nu }=0$ ,

kde ${{\mathrm{\Gamma }}^{\mu }}_{\sigma \nu }$ jsou složky afinní konexe. Toto je rovnice pro paralelní přenos.

Rovnice geodetiky

Rovnici paralelního přenosu

$\frac{\mathrm{d}{V}^{\mu }}{\mathrm{d}\lambda }+{{\mathrm{\Gamma }}^{\mu }}_{\sigma \nu }{u}^{\sigma }{V}^{\nu }=0$

lze také zapsat pomocí kovariantní derivace jednoduše jako

$\frac{\mathrm{D}{V}^{\mu }}{\mathrm{d}\lambda }=0$ nebo ${V^{\mu }}_{;\alpha }=0$ .

Pokud přenášíme rovnoběžný vektor

$V^{\mu }=u^{\mu }=\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }}{\mathrm{d}\lambda }$ ,

dostaneme rovnici geodetiky

$\frac{{\mathrm{D}}^2{x}^{\mu }}{\mathrm{d}{\lambda }^2}=\frac{{\mathrm{d}}^2{x}^{\mu }}{\mathrm{d}{\lambda }^2}+{{\mathrm{\Gamma }}^{\mu }}_{\sigma \nu }{u}^{\sigma }{u}^{\nu }=0$ .

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat