Měřitelný kardinál

Měřitelný kardinál je matematický pojem z oblasti teorie množin (kardinální aritmetiky). Patří mezi velké kardinály.

Definice

Řekneme, že kardinální číslo $\kappa$ je měřitelné, je-li nespočetné a existuje-li na $\kappa$ netriviální $\kappa$-úplný ultrafiltr, tj. ultrafiltr uzavřený na průniky méně než $\kappa$ množin.

Vlastnosti

Měřitelný ultrafiltr

Každý netriviální $\kappa$-úplný ultrafiltr $𝒰$ na $\kappa$ definuje ${\kappa }^{<}$-aditivní (tj. takovou, že míra sjednocení méně než $\kappa$ množin míry 0 je množina míry 0) dvouhodnotovou míru předpisem $\mu (X)=1$ pro $X\in 𝒰$ a $\mu (X)=0$ jinak. Obráceně každá taková míra definuje (inverzní formulí) nějaký netriviální $\kappa$-úplný ultrafiltr na $\kappa$. Proto se někdy měřitelný kardinál definuje jako takový kardinál $\kappa$, na němž existuje ${\kappa }^{<}$-aditivní dvouhodnotová míra.

Z důvodů naznačených v předchozím odstavci se netriviální $\kappa$-úplný ultrafiltr na nespočetném kardinálu $\kappa$ nazývá měřitelný ultrafiltr na $\kappa$ nebo jen míra na $\kappa$.

Základní, jednoduše dokazatelnou a často užívanou vlastností měřitelného kardinálu je jeho uniformita.

Měřitelný kardinál

Každý měřitelný kardinál je Ramseyův a tedy nedosažitelný.

Stanislaw Ulam dokázal roku 1930 ve své práci Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre, že pokud je $\kappa$ nejmenší nespočetný kardinál takový, že na něm existuje ${\mathrm{\aleph }}_1$-úplný ultrafiltr, pak $\kappa$ je měřitelný kardinál.

Pravděpodobně nejužitečnější metodu prokazování vlastností měřitelného kardinálu objevil počátkem 60. let 20. století Alfréd Tarski. Tato metoda spočívá v zavedení lineárního uspořádání na množině ${\kappa }^{\kappa }$ všech funkcí z $\kappa$ do $\kappa$ pro měřitelný kardinál $\kappa$ takto: Nechť $𝒰$ je měřitelný ultrafiltr na $\kappa$. Pro funkce $f,g\in {\kappa }^{\kappa }$ definujeme

• $f{<}^{𝒰}g$ právě když $\{x\in \kappa ;f(x)<g(x)\}\in 𝒰$
• $f{=}^{𝒰}g$ právě když $\{x\in \kappa ;f(x)=g(x)\}\in 𝒰$
• $f{\le }^{𝒰}g$ právě když $f{<}^{𝒰}g$ nebo $f{=}^{𝒰}g$
• $k_a$, kde $a\in \kappa$, je taková funkce, která splňuje $k_a(x)=a$ pro všechna $x\in \kappa$
• funkce f je první za konstantami, je-li $k_a{<}^{𝒰}f$ pro všechna $a\in \kappa$ a kdykoli $g{<}^{𝒰}f$, pak $g{=}^{𝒰}{k}_a$ pro nějaké $a\in \kappa$

Tarski pak dokázal následující větu: Je-li $\kappa$ měřitelný kardinál, pak na $\kappa$ existuje měřitelný ultrafiltr $𝒰$ takový, že identita na $\kappa$ (fce $id(x)$, že $id(x)=x$ pro $x\in \kappa$) je první za konstantami.

Volbou takovéhoto měřitelného ultrafiltru lze pak například dokázat, že před každým měřitelným kardinálem $\kappa$ leží právě $\kappa$ nedosažitelných kardinálů.

Související články

• Velké kardinály
• Ultrafiltr
• Ramseyův kardinál
• Míra (matematika)