Kolaps vlnové funkce

V kvantové mechanice se kolapsem vlnové funkce rozumí její redukce ze superpozice několika vlastních stavů měřených veličin na jeden z těchto vlastních stavů. Jde o neunitární časový vývoj v důsledku interakce s pozorovatelem. Není tím myšleno, že by samotné pozorování ovlivňovalo realitu. Pokud chceme zjistit hybnost nebo směr částice, je k tomu zapotřebí například proud fotonů, cívka či cokoliv jiného, co je schopné měření provést. Námi pozorovaná částice se dostane do kontaktu s "okolním světem". Pokud tedy částice začne interagovat s jinou částicí, tak vlnová funkce zkolabuje.

Časový vývoj vlnové funkce izolovaného systému se řídí Schrödingerovou rovnicí (nebo jejími relativistickými ekvivalenty, viz např. Diracova rovnice). Tato dynamika zachovává informaci o původním stavu, protože z aktuálního stavu lze určit jak stav budoucí, tak stav předchozí. Pokud na systému provádíme měření, které může nabývat několika možných výsledků, vždy (s danou pravděpodobností) naměříme jen jeden z možných výsledků. Během tohoto procesu, zvaného kolaps vlnové funkce, se informace o původním stavu nezachovává. Stále diskutovaným problémem je, zda je kolaps vlnové funkce fundamentálním fyzikálním jevem, jak tvrdí např. Kodaňská interpretace kvantové mechaniky, nebo zda jde o důsledek vzniku korelace mezi kvantovým stavem pozorovatele a pozorovaného objektu, tedy zda vzniká v důsledku dekoherence. Jsou však i jiné interpretace kvantové mechaniky. Lze ale i říci, že nejde o fyzikální jev, ale obecněji o matematickou podmíněnou pravděpodobnost.

Matematika

Měření

Vlnovou funkci $|\psi (t)⟩$ můžeme zapsat v bázi vlastních funkcí měřených veličin $|A_i⟩$, které jsou navzájem ortogonální ($⟨A_j|A_i⟩={\delta }_{ij}$).

$|\psi (t)⟩=\sum _i{a}_i(t)|A_i⟩,$

kde $a_i(t)\equiv ⟨A_i|\psi (t)⟩$ jsou komplexní čísla zvaná amplitudy pravděpodobnosti. Potom provedeme-li na daném systému měření, přejde vlnová funkce na jednu z vlastních funkcí operátorů měřených veličin

$|\psi (t)⟩\Rightarrow |A_i⟩$

s pravděpodobností

$p_i(t)=|a_i(t){|}^2/⟨\psi (t)|\psi (t)⟩$.

Kolaps z pohledu teorie dekoherence

Pokud chceme zahrnout do svých úvah interakci s pozorovatelem, nebo s širším okolím, není možné uvažovat jen vlnovou funkci studovaného systému, protože celým systémem je striktně vzato systém plus jeho okolí - vlnová funkce podsystému již nenese plnou informaci. Potom počáteční stav můžeme napsat jako

$|\mathrm{\Psi }(t_0)⟩=|O_0(t_0)⟩(\sum _i{a}_i(t_0)|A_i⟩),$

kde $|{\mathrm{\Psi }}_0⟩$ představuje celkovou vlnovou funkci okolí a systému, $|O_0⟩$ je vlnová funkce okolí v čase $t_0$ a zbylý součin je vlnová funkce $|\psi (t_0)⟩$. Pokud existuje mezi okolím a systémem nějaká interakce, nezůstane během časového vývoje $|{\mathrm{\Psi }}_0⟩$ ve tvaru direktního součinu, ale dojde ke kvantovému provázání (entanglementu)

$|\mathrm{\Psi }(t)⟩=\sum _i{a}_i(t)|O_i(t)⟩|A_i⟩.$

Dále předpokládáme, že jakmile se vlnové funkce okolí $|O_i(t)⟩$ dostatečně odliší, začnou být na sebe kolmé, tedy

$⟨O_i(t)|O_j(t)⟩={\delta }_{ij}.$

Potom je vidět, že pokud jsme jako pozorovatelé popsáni stavem $|O_i(t)⟩$, systém bude ve stavu $|A_i⟩$. Srovnáme-li tuto skutečnost s faktem, že pokud jsme byli jako pozorovatelé popsáni stavem $|O_0(t_0)⟩$ (pozorovatel, který se systémem nepřišel do styku a tedy nepozoroval), kdy byl stav systému dán superpozicí $\sum _i{a}_i(t_0)|A_i⟩$, vidíme, že pozorováním došlo k redukci stavu. Zároveň dokážeme i odvodit Bornovo pravidlo, protože podmíněná pravděpodobnost, že my jako pozorovatelé se nacházíme ve stavu $|O_i(t)⟩$ za předpokladu, že systém je ve stavu $|A_i⟩$ je

$P=⟨\mathrm{\Psi }(t)|A_i⟩⟨A_i|\mathrm{\Psi }(t)⟩=|a_i{|}^2.$

Tato úvaha je základem tzv. Interpretace mnoha světů. Jednotlivé světy jsou vlastně vlnové funkce $|O_i(t)⟩|A_i⟩$ podílející se v superpozici na celkové vlnové funkci vesmíru, která kolapsem nikdy neprochází.