Jensenova nerovnost

Jensenova nerovnost, jež byla pojmenována po dánském matematikovi Johanu Jensenovi, dává do souvislosti obraz konvexní kombinace a konvexní kombinaci obrazů pro konvexní funkci. Lze ji využít při důkazu jiných nerovností (např. A-G nerovnosti nebo Youngovy nerovnosti).

Vyjádření

Nechť $\phi$ je reálná funkce, konvexní na uzavřeném intervalu $[a,b]$, $n\in \mathbb{N}$, $(\mathrm{\forall }i\in \hat{n})(x_i\in [a,b])$.
Potom platí: $\phi \left(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{x}_i\right)\le \sum _{i=1}^n{\lambda }_i\phi \left(x_i\right)$,
kde $(\mathrm{\forall }i\in \hat{n})({\lambda }_i\in [0,1])$ a $\sum _{i=1}^n{\lambda }_i=1$.
V případě konkávní funkce je nerovnost obrácená.

Důkaz

Konvexnost funkce $\phi$ na $[a,b]$ je ekvivalentní s výrokem:

$(\mathrm{\forall }x,y\in [a,b],x<y)(\mathrm{\forall }\lambda \in [0,1])(\phi (\lambda y+(1-\lambda )x)\le \lambda \phi (y)+(1-\lambda )\phi (x))$.

Vlastní důkaz proběhne matematickou indukcí podle $n$.

• $n=1$: případ je triviální,
• $n=2$: tvrzení vyplývá přímo z výše uvedené definice konvexnosti,
• $n\to n+1$:

Indukční předpoklad: $\phi \left(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{x}_i\right)\le \sum _{i=1}^n{\lambda }_i\phi \left(x_i\right)$.
Dokážeme tuto nerovnost pro $n+1$, tedy: $\phi \left(\sum _{i=1}^{n+1}{\lambda }_i{x}_i\right)\le \sum _{i=1}^{n+1}{\lambda }_i\phi \left(x_i\right)$.
Sporem lze ukázat: $(\mathrm{\exists }{i}_0\in \widehat{n+1})({\lambda }_{i_0}\ne 1)$. Kdyby totiž platil opak, tedy $(\mathrm{\forall }{i}_0\in \widehat{n+1})({\lambda }_{i_0}=1)$, pak $\sum _{i=1}^{n+1}{\lambda }_i=n+1\ge 2$, což je spor s předpoklady.

Protože platí: $\sum _{i=1}^{n+1}{\lambda }_i=1$, platí také $\sum _{i=1,i\ne i_0}^{n+1}{\lambda }_i=\lambda$, kde $\lambda :=1-{\lambda }_{i_0}$, a tedy: $\sum _{i=1,i\ne i_0}^{n+1}\frac{{\lambda }_i}{\lambda }=1$.
Snadno lze také ukázat: $(\mathrm{\forall }i\in \widehat{n+1},i\ne i_0)(\frac{{\lambda }_i}{\lambda }\in [0,1])$, protože $(\mathrm{\forall }i\in \widehat{n+1},i\ne i_0)({\lambda }_i\in [0,\lambda ])$.
Pak lze zřejmě psát: $\phi \left(\sum _{i=1}^{n+1}{\lambda }_i{x}_i\right)=\phi (\sum _{i=1,i\ne i_0}^{n+1}{\lambda }_i{x}_i+{\lambda }_{i_0}{x}_{i_0})=\phi (\lambda \sum _{i=1,i\ne i_0}^{n+1}\frac{{\lambda }_i}{\lambda }{x}_i+(1-\lambda )x_{i_0})$.
Označme: $y:=\sum _{i=1,i\ne i_0}^{n+1}\frac{{\lambda }_i}{\lambda }{x}_i$ a dokažme, že $y\in [a,b]$. Protože $(\mathrm{\forall }i\in \widehat{n+1})(x_i\in [a,b])$, můžeme $y$ odhadnout shora, resp. zdola, když za $x_i$, pro všechna $i$ dosadíme $b$, resp. $a$ (zřejmě totiž platí: $b=\sum _{i=1,i\ne i_0}^{n+1}\frac{{\lambda }_i}{\lambda }b$, pro $a$ analogicky).
Potom lze napsat: $\phi (\lambda \sum _{i=1,i\ne i_0}^{n+1}\frac{{\lambda }_i}{\lambda }{x}_i+(1-\lambda )x_{i_0})=\phi (\lambda y+(1-\lambda )x_{i_0})$.
Z uvedené definice konvexnosti plyne: $\phi (\lambda y+(1-\lambda )x_{i_0})\le \lambda \phi (y)+(1-\lambda )\phi (x_{i_0})$.
Podle indukčního předpokladu lze psát: $\lambda \phi (y)+(1-\lambda )\phi (x_{i_0})=\lambda \phi (\sum _{i=1,i\ne i_0}^{n+1}\frac{{\lambda }_i}{\lambda }{x}_i)+(1-\lambda )\phi (x_{i_0})\le \lambda \sum _{i=1,i\ne i_0}^{n+1}\frac{{\lambda }_i}{\lambda }\phi (x_i)+(1-\lambda )\phi (x_{i_0})=\sum _{i=1}^{n+1}{\lambda }_i\phi \left(x_i\right)$.
Důsledkem tedy je: $\phi \left(\sum _{i=1}^{n+1}{\lambda }_i{x}_i\right)\le \sum _{i=1}^{n+1}{\lambda }_i\phi \left(x_i\right)$, což je dokazovaná nerovnost.

Související články

• Nerovnost (matematika)
• Konvexní funkce
• Nerovnost aritmetického a geometrického průměru
• Youngova nerovnost