Izolovaný a limitní kardinál

Izolovaný kardinál a limitní kardinál jsou pojmy z teorie množin, které rozdělují kardinální čísla na dvě disjunktní třídy podle postavení v hierarchii kardinálů.

Definice

Je-li $\lambda$ kardinál, pak množina všech větších kardinálů má vždy nejmenší prvek – označme jej ${\lambda }^{+}$ a nazvěme následníkem kardinálu $\lambda$. Kardinál $\lambda$ nazýváme předchůdcem kardinálu ${\lambda }^{+}$

Řekneme, že kardinál je limitní, pokud nemá předchůdce a je neprázdný.
V opačném případě mluvíme o izolovaném kardinálu.

Poznámka: Pojmy limitní kardinál a izolovaný kardinál nesmí být zaměňovány s pojmy limitní ordinál a izolovaný ordinál. Každý nekonečný kardinál je limitním ordinálem, bez ohledu na to, zda se jedná o limitní kardinál nebo izolovaný kardinál.

Příklady

• Všechna konečná ordinální čísla jsou zároveň izolované kardinály.
• Množina přirozených čísel $\omega ={\mathrm{\aleph }}_0$ je první limitní kardinál.
• ${\mathrm{\aleph }}_1,{\mathrm{\aleph }}_2,\dots$, jsou izolované kardinály, obecně pro každý izolovaný ordinál $\alpha >0$ je ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ izolovaný kardinál.
• ${\mathrm{\aleph }}_{\omega }$ je první nespočetný limitní kardinál, opět obecně pro každý limitní ordinál $\alpha$ je ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ limitní kardinál.

Související články

• Ordinální aritmetika
• Kardinální aritmetika
• Regulární kardinál
• Singulární kardinál
• Limitní ordinál
• Izolovaný ordinál