Integrace racionálních funkcí

Integrace racionálních funkcí se týká neurčitého integrálu tvaru $\int \frac{P(x)}{Q(x)}\mathrm{d}x$, kde $P(x),Q(x)$ jsou polynomy.

Racionální funkci $\frac{P(x)}{Q(x)}$ je vždy možné rozložit na součet polynomu a ryze racionální lomené funkce. Racionální lomenou funkci vyjádříme jako součet parciálních zlomků. Vzhledem k tomu, že integrace polynomu je triviální, zbývá řešit integraci lomené racionální funkce, která se však v nejobecnějším případě redukuje na řešení integrálu

$I_1=\int \frac{A}{{(x-a)}^n}\mathrm{d}x$

pro přirozené číslo $n\ge 1$ a $x\ne a$, a integrálu

$I_2=\int \frac{Mx+N}{{(x^2+px+q)}^n}\mathrm{d}x$

pro přirozené číslo $n\ge 1$, přičemž diskriminant D výrazu $x^2+px+q$ je záporný.

Pro integrál $I_1$ dostaneme pro $n=1$ aplikováním základních integračních vztahů výraz

$\int \frac{A}{x-a}\mathrm{d}x=A\ln |x-a|+C$

pro $x\ne a$.

Pro $n\ge 2$ pak pro $I_1$ ze základních vztahů plyne

$\int \frac{A}{{(x-a)}^n}\mathrm{d}x=\frac{A}{1-n}\frac{1}{{(x-a)}^{n-1}}+C$

pro $x\ne a$.

Integrál $I_2$ pro $M=0,n=1$ lze převést na integrál $\int \frac{\mathrm{d}x}{x^2+a^2}$ pomocí substituce

$x^2+px+q={(x+\frac{p}{2})}^2-(\frac{p^2}{4}-q)=z^2+a^2$,

kde $z=x+\frac{p}{2}$ a $a^2=-(\frac{p^2}{4}-q)=-D$. Pomocí základních integračních vztahů pak dostaneme

$\int N\frac{\mathrm{d}x}{x^2+px+q}=N\int \frac{\mathrm{d}x}{{(x+\frac{p}{2})}^2-(\frac{p^2}{4}-q)}=$

$=N\int \frac{\mathrm{d}z}{z^2+a^2}=\frac{N}{a}\mathrm{arctg}\frac{z}{a}+C=\frac{N}{\sqrt{-D}}\mathrm{arctg}\frac{x+\frac{p}{2}}{\sqrt{-D}}+C$

Integrál $I_2$ pro $M\ne 0$ a $n=1$ upravíme tak, aby v čitateli byl (až na aditivní konstantu) násobek derivace jmenovatele, což umožňuje úpravu

$\int \frac{k{f}^{\prime }(x)+A}{f(x)}\mathrm{d}x=k\int \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}\mathrm{d}x+\int Af(x)\mathrm{d}x$

Řešení prvního integrálu lze najít podle základních integračních vztahů a druhý integrál je integrál typu $I_2$ pro $M=0,n=1$. Využijeme-li toho, že ${(x^2+px+q)}^{\prime }=2x+p$ a současně

$Mx+N=\frac{M}{2}(2x+\frac{2N}{M})=\frac{M}{2}[(2x+p)+(\frac{2N}{M}-p)],$

pak dostáváme řešení

$\int \frac{Mx+N}{x^2+px+q}\mathrm{d}x=\frac{M}{2}\int \frac{2x+p}{x^2+px+q}\mathrm{d}x+\frac{M}{2}(\frac{2N}{M}-p)\int \frac{\mathrm{d}x}{x^2+px+q}=$

$=\frac{M}{2}\ln |x^2+px+q|+AI$

kde $I$ je integrál typu $I_2$ pro $M=0,n=1$.

Integrál $I_2$ pro $M=0,n>1$ lze pomocí substituce $x-\frac{p}{2}=z,\mathrm{d}z=\mathrm{d}x$ a $-(\frac{p^2}{4}-q)=a^2$ upravit na tvar

$K_n=\int \frac{N\mathrm{d}x}{{(x^2+px+q)}^n}=\int \frac{N\mathrm{d}x}{{[{(x-\frac{p}{2})}^2-(\frac{p^2}{4}-q)]}^n}=N\int \frac{\mathrm{d}z}{{(z^2+a^2)}^n}$

Řešíme-li poslední integrál metodou per partes, dostaneme rekurentní vztah

$K_{n+1}=\frac{z}{2n{a}^2{(z^2+a^2)}^n}+\frac{2n-1}{2n{a}^2}{K}_n$

pro $n\ge 1$. Řešení integrálu $K_n$ lze pak vyjádřit prostřednictvím integrálu $K_1$, což je však integrál typu $I_2$ pro $M=0,n=1$.

U integrálů $I_2$, u nichž je $M\ne 0,n>1$ použijeme $f(x)=x^2+px+q$. Čitatele lze pak vyjádřit ve tvaru $k{f}^{\prime }(x)+A$. Řešení má pak tvar

$\int \frac{Mx+N}{{(x^2+px+q)}^n}\mathrm{d}x=\int \frac{k{f}^{\prime }(x)+A}{{[f(x)]}^n}\mathrm{d}x=k\int \frac{f^{\prime }(x)}{{[f(x)]}^n}\mathrm{d}x+A\int \frac{\mathrm{d}x}{{[f(x)]}^n}=$

$=\frac{M}{2(1-n)}\frac{1}{{(x^2+px+q)}^{n-1}}+K_n$,

kde $K_n$ je integrál vyjádřený pomocí dříve uvedeného rekurentního vztahu.

Při integraci racionální funkci tedy nejdříve vyjádříme tuto funkci jako součet polynomu, který lze ihned integrovat, a racionální lomené funkce, kterou rozložíme na parciální zlomky. Poté integrujeme parciální zlomky, čímž získáme celé řešení integrálu původní racionální funkce.