Hyperbolický tangens

Graf hyperbolického tangens

Hyperbolický tangens (tangens hyperbolicus) je hyperbolická funkce. Značí se $\tanh$, dříve $\mathrm{tgh}$.

Definice

Hyperbolický tangens je definován jako podíl hyperbolického sinu a hyperbolického kosinu:

$\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}=\frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}$.

Definice platí i pro komplexní argument. Pomocí ryze imaginárního úhlu jej lze definovat jako

$\tanh x=-\mathrm{i}\tan \mathrm{i}x$, kde $\mathrm{i}$ je imaginární jednotka.

Vlastnosti

• $\tanh$ je rostoucí funkce

• Definiční obor funkce

$D(\tanh )=ℝ$

• Obor hodnot funkce

$H(\tanh )=(-1,+1)$

• Hyperbolický tangens je lichá funkce, je tedy splněna podmínka

$\tanh (-x)=-\tanh x.$

• Pro součet argumentů, dvojnásobný a poloviční argument platí:

$\tanh (x+y)=\frac{\tanh (x)+\tanh (y)}{1+\tanh (x)\cdot \tanh (y)}$

$\tanh (2x)=\frac{2\tanh (x)}{1+{\tanh }^2(x)}$

$\tanh \frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1}{2}(\cosh (x)-1)}$

• Inverzní funkcí k hyperbolickému tangens je hyperbolometrická funkce argument hyperbolického tangens (artanh x):

$\text{artanh}(x)=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$, kde $|x|<1$

• Derivace hyperbolického tangens:

$\frac{d}{dx}\tanh x=1-{\tanh }^{2}x={\mathrm{sech}}^{2}x=1/{\cosh }^{2}x$

• Neurčitý integrál:

$\int \tanh xdx=\ln (\cosh x)$.

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat