Greenovy identity

Greenovy identity jsou souborem tří identit ve vektorové analýze. Jsou pojmenovány po matematikovi Georgovi Greenovi, který objevil tzv. Greenovu větu.

První Greenova identita

Tato identita je odvozena z Gaussovy věty aplikované na vektorové pole $𝐅=\psi \mathrm{\nabla }\varphi$: Pokud platí, že φ má spojitou druhou derivaci, a ψ má spojitou první derivaci na množině U, pak:

$\underset{U}{\int }\left(\psi {\mathrm{\nabla }}^2\varphi \right)dV={\oint }_{\partial U}\left(\psi \frac{\partial \varphi }{\partial n}\right)dS-\underset{U}{\int }(\mathrm{\nabla }\varphi \cdot \mathrm{\nabla }\psi )dV$

Druhá Greenova identita

Pokud φ a ψ mají obě spojité druhé derivace na U, pak:

$\underset{U}{\int }(\psi {\mathrm{\nabla }}^2\varphi -\varphi {\mathrm{\nabla }}^2\psi )dV={\oint }_{\partial U}(\psi \frac{\partial \varphi }{\partial n}-\varphi \frac{\partial \psi }{\partial n})dS$

Třetí Greenova identita

Greenova třetí identita je odvozena z druhé pokud položíme $\varphi (.)=\frac{1}{|𝐱-.|}$ a ${\mathrm{\nabla }}^2\varphi =-4\pi \delta (𝐱-.)$ v R³: Pokud ψ má spojitou druhou derivaci na U .

${\oint }_{\partial U}[\frac{1}{|𝐱-𝐲|}\frac{\partial \psi }{\partial n}(𝐲)-\psi (𝐲)\frac{\partial }{\partial n_{𝐲}}\frac{1}{|𝐱-𝐲|}]d{S}_{𝐲}-\underset{U}{\int }[\frac{1}{|𝐱-𝐲|}{\mathrm{\nabla }}^2\psi (𝐲)]d{V}_{𝐲}=k$

K = 4πψ(x) pokud x ∈ leží v U, 2πψ(x) pokud x ∈ ∂U a má tečnu v x, nule a všude jinde.