Greenova věta

Greenova věta je věta diferenciální geometrie, která popisuje vztah mezi křivkovým integrálem druhého druhu vektorového pole v rovině přes hladkou uzavřenou orientovanou křivku a plošným integrálem rotace vektorového pole přes plochu křivkou uzavřenou. Tato věta je speciálním případem tzv. Stokesovy věty. Autorem Greenovy věty je George Green.

Znění věty

D je oblast ohraničená křivkami C₁, C₂, C₃, C₄.

Je-li $𝐅(x,y)=[F_x(x,y),F_y(x,y)]$ vektorové pole se spojitými parciálními derivacemi prvního řádu na jednoduše souvislé ploše $S$ ohraničené po částech hladkou jednoduchou uzavřenou kladně orientovanou křivkou $C$, pak platí:

${\oint }_C(F_x\mathrm{d}x+F_y\mathrm{d}y)=\underset{S}{\iint }(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y$.

Výpočet obsahu

Greenovu větu je možno využít k výpočtu obsahu plochy v rovině. Zvolme funkce $F_x$ a $F_y$ tak,
že platí $\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}=1$, potom je obsah (míra) oblasti $D$ ohraničené hranicí $C$ dán vztahem:

$S=\frac{1}{2}{\oint }_C(-ydx+xdy)=\underset{S}{\iint }\mathrm{d}x\mathrm{d}y$, neboť (viz volba výše):

$\partial F_y\partial y-\partial F_x\partial x=\partial x\partial y=\frac{1}{2}\partial x\partial y+\frac{1}{2}\partial y\partial x$, tj.:

$\partial F_y=\frac{1}{2}\partial x$ a $\partial F_x=-\frac{1}{2}\partial y$, z čehož plyne: $F_y=\frac{1}{2}x$ a $F_x=-\frac{1}{2}y$.

Související články

• Fubiniova věta

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat