Gaussův integrál

Graf funkce $e^{-x^2}$ a plochy mezi funkcí a osou $x$; tato plocha se rovná $\sqrt{\pi }$

Gaussův integrál, také známý jako Eulerův-Poissonův integrál či Poissonův integrál, je integrál Gaussovy funkce $e^{-x^2}$ přes celou reálnou osu:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$.

Jména tomuto integrálu dali matematici Carl Friedrich Gauss, Leonhard Euler a Siméon Denis Poisson.

Výpočet

Integrál Gaussovy funkce označíme $Y$:

$Y=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-x^2}\mathrm{d}x$.

Obě strany rovnice umocníme na druhou, přičemž proměnnou ve druhém integrálu označíme $y$:

$Y^2=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-x^2}\mathrm{d}x\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-y^2}\mathrm{d}y$.

Součin integrálů odpovídá dvojnému integrálu funkce dvou proměnných, která je součinem původních funkcí:

$Y^2=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-x^2}{\mathrm{e}}^{-y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-(x^2+y^2)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$.

Graf této funkce si můžeme představit jako kopec (tvarem připomíná horu Říp) nad rovinou s kartézskými souřadnicemi $(x,y)$. Integrál představuje objem kopce. Jelikož je kopec souměrný podle svislé osy, hodí se k jeho popisu polární soustava souřadnic $(\phi ,r)$, do kterých funkci přepíšeme:

$Y^2=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}r{\mathrm{e}}^{-r^2}\mathrm{d}r\mathrm{d}\phi =\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\mathrm{d}\phi \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}r{\mathrm{e}}^{-r^2}\mathrm{d}r$.

Tento integrál už lze jednoduše vyřešit substitucí $u=r^2$ a jeho hodnota je $\pi$. Odmocněním rovnice dostaneme výsledek:

$Y=\sqrt{\pi }$.

Literatura

• Josef Kvasnica: Matematický aparát fyziky, Academia, Praha 1997, Šablona:ISBN

Související články

• Normální rozdělení
• Seznam integrálů exponenciálních funkcí
• Chybová funkce