Formální derivace

V matematice, formální derivace označuje operaci nad prvky okruhu polynomů či okruhu mocninných řad, která se chová jako derivace z diferenciálního počtu. Ačkoli vypadají obdobně, výhodou formální derivace je, že nevyžaduje k definici limitní přechod, který v některých okruzích není možno použít. Mnoho vlastností derivací z diferenciálního počtu platí i pro formální derivace, některé naopak ani nedávají smysl. Základním použitím formálních derivací je oddělení kořenů polynomu různé násobnosti.

Definice

Pro daný komutativní okruh R nechť A = R[x] je okruh polynomů nad R. Pak formální derivace je operace nad prvky okruhu A, kde pro

$f(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i$

je formální derivace

$f^{\prime }(x)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^i{a}_i{x}^{i-1},$

což přesně odpovídá vztahům pro polynomy nad reálnými či komplexními čísly.

(Běžně značíme součet $i$ konstantních sčítanců $s$ výrazem $i\cdot s$, v tomto případě uvádíme součet abychom předešli záměně s násobením v okruhu R.)

Vlastnosti

Není těžké ověřit, že:

• Formální derivace je lineární: pro libovolné dva polynomy f(x), g(x) a prvky r, s okruhu R, platí

$(r\cdot f+s\cdot g{)}^{\prime }(x)=r\cdot f^{\prime }(x)+s\cdot g^{\prime }(x).$

• Formální derivace splňuje pravidlo derivace součinu:

$(f\cdot g{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime }(x).$

Důkazy

$(r\cdot f+s\cdot g{)}^{\prime }(x)=(r\sum _i{f}_i{x}^i+s\sum _i{g}_i{x}^i{)}^{\prime }=(\sum _i(r{f}_i+s{g}_i)x^i{)}^{\prime }=$ $=(\sum _i\sum _{j=1}^i(r{f}_i+s{g}_i)x^{i-1})=r\sum _i{f}_i{x}^{i-1}+s\sum _i{g}_i{x}^{i-1}=r\cdot f^{\prime }(x)+s\cdot g^{\prime }(x).$

$(f\cdot g{)}^{\prime }(x)=(\sum _i\sum _j{f}_i{g}_j{x}^{i+j}{)}^{\prime }=\sum _i\sum _j\sum _{k=1}^{i+j}{f}_i{g}_j{x}^{i+j-1}=$ $=\sum _i\sum _j(\sum _{k=1}^i{f}_i{g}_j{x}^{(i-1)+j}+\sum _{k=1}^j{f}_i{g}_j{x}^{i+(j-1)})=f^{\prime }(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime }(x).$

Vztah k derivaci z diferenciálního počtu

Pokud je okruh R komutativní, existuje alternativní ekvivalentní definice formální derivace, která mnohem víc připomíná definici z diferenciálního počtu. Prvek Y-X okruhu R[X,Y] dělí Yⁿ – Xⁿ pro libovolné nezáporné celé n, a proto dělí f(Y) – f(X) pro libovolný polynom f s jednou proměnnou. Pokud označíme výsledný podíl (v R[X,Y]) pomocí g:

$g(X,Y)=\frac{f(Y)-f(X)}{Y-X},$

pak není těžké ověřit, že g(X,X) (v R[X]) dává stejnou definici jako formální derivace f definovaná výše.

Tato formulace formální derivace je použitelná i pro mocninné řady, (za předpokladu, že okruh R skalárů je komutativní).

Definice použitelná i pro nekomutativní okruhy

Nechť pro $r\in R$ je $r^{\prime }=0,$ nechť $x^{\prime }=1.$ Dodefinujme derivaci pro výrazy tak, aby $(a+b{)}^{\prime }=a^{\prime }+b^{\prime }$ a $(a\cdot b{)}^{\prime }=a^{\prime }\cdot b+a\cdot b^{\prime }.$

Je potřeba dokázat, že takto definovaná derivace dává stejné výsledky nezávisle na tom, jak spočteme daný výraz, tedy, že je kompatibilní se všemi axiomy rovnosti.

• $(a+b{)}^{\prime }=a^{\prime }+b^{\prime }=b^{\prime }+a^{\prime }=(b+a{)}^{\prime },$
• $((a+b)+c{)}^{\prime }=(a+b{)}^{\prime }+c^{\prime }=(a^{\prime }+b^{\prime })+c^{\prime }=a^{\prime }+(b^{\prime }+c^{\prime })=a^{\prime }+(b+c{)}^{\prime }=(a+(b+c){)}^{\prime },$
• $(a(bc){)}^{\prime }=a^{\prime }(bc)+a(bc{)}^{\prime }=a^{\prime }bc+a(b^{\prime }c+b{c}^{\prime })=a^{\prime }bc+a{b}^{\prime }c+ab{c}^{\prime }=$

$=(a^{\prime }b+a{b}^{\prime })c+(ab)c^{\prime }=(ab{)}^{\prime }c+(ab)c^{\prime }=((ab)c{)}^{\prime },$

• $((a+b)c{)}^{\prime }=(a+b{)}^{\prime }c+(a+b)c^{\prime }=(a^{\prime }+b^{\prime })c+(a+b)c^{\prime }=(a^{\prime }c+b^{\prime }c)+(a{c}^{\prime }+b{c}^{\prime })=$

$=\cdots =(a^{\prime }c+(b^{\prime }c+a{c}^{\prime }))+b{c}^{\prime }=(a^{\prime }c+(a{c}^{\prime }+b^{\prime }c))+b{c}^{\prime }=\cdots =(a^{\prime }c+a{c}^{\prime })+(b^{\prime }c+b{c}^{\prime })=$

$=(ac{)}^{\prime }+(bc{)}^{\prime }=(ac+bc{)}^{\prime }$

a distributivita z druhé strany symetricky.

Linearita je při tomto přístupu samozřejmostí.

Vztah pro derivaci polynomu (ve standardním tvaru pro komutativní okruhy) je přímým důsledkem: $(\sum _i{a}_i{x}^i{)}^{\prime }=\sum _i(a_i{x}^i{)}^{\prime }=\sum _i((a_i{)}^{\prime }{x}^i+a_i(x^i{)}^{\prime })=\sum _i(0x^i+a_i(\sum _{j=1}^i{x}^{j-1}(x^{\prime })x^{i-j}))=\sum _i\sum _{j=1}^i{a}_i{x}^{i-1}.$

Aplikace pro separaci podpolynomů různých násobností

Je-li polynom $p(x)$ možno napsat ve tvaru $p(x)=\prod _{i=1}^k(p_i(x){)}^i$, kde polynomy $p_i$ jsou nesoudělné. Pak je možno polynomy $p_i$ postupně od posledního najít vícenásobným použitím největšího společného dělitele polynomu s jeho formální derivací (není potřeba aby polynomy byly nad reálnými či komplexními čísly). Šablona:Autoritní data