Ehrenfestovy teorémy

Ehrenfestovy teorémy (též Ehrenfestovy rovnice) určují vztah mezi časovou derivací střední hodnoty kvantově-mechanického operátoru a komutátorem tohoto operátoru s hamiltoniánem daného systému. Obecné vyjádření má tvar

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}⟨\hat{A}⟩=\frac{1}{\mathrm{i}\hslash }⟨[\hat{A},\hat{H}]⟩+⟨\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}⟩$,

kde $\hat{A}$ je nějaký kvantově-mechanický operátor a $⟨\hat{A}⟩$ je jeho střední hodnota. Tvrzení je pojmenováno po Paulu Ehrenfestovi.

Ehrenfestovy teorémy mají úzký vztah k Liouvillově větě v Hamiltonovské formulaci mechaniky, kde se místo komutátoru vyskytuje Poissonova závorka.

Odvození

Uvažujme systém, který se nachází v kvantovém stavu $\mathrm{\Phi }$. Pro časovou derivaci střední hodnoty operátoru $\hat{A}$ platí

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}⟨\hat{A}⟩=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int {\mathrm{\Phi }}^{\star }\hat{A}\mathrm{\Phi }\mathrm{d}{x}^3=\int \left(\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}^{\star }}{\partial t}\right)\hat{A}\mathrm{\Phi }\mathrm{d}{x}^3+\int {\mathrm{\Phi }}^{\star }\left(\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\right)\mathrm{\Phi }\mathrm{d}{x}^3+\int {\mathrm{\Phi }}^{\star }\hat{A}\left(\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial t}\right)\mathrm{d}{x}^3=$

$=\int \left(\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}^{\star }}{\partial t}\right)\hat{A}\mathrm{\Phi }\mathrm{d}{x}^3+⟨\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}⟩+\int {\mathrm{\Phi }}^{\star }\hat{A}\left(\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial t}\right)\mathrm{d}{x}^3$,

přičemž se integruje přes celý prostor. V mnoha případech (ale ne vždy) je operátor $\hat{A}$ časově nezávislý, takže jeho derivace je nulová. V takovém případě je možné zanedbat člen $⟨\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}⟩$.

Pomocí Schrödingerovy rovnice lze zjistit, že

$\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial t}=\frac{1}{\mathrm{i}\hslash }\hat{H}\mathrm{\Phi }$

a také

$\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}^{\star }}{\partial t}=\frac{-1}{\mathrm{i}\hslash }{\mathrm{\Phi }}^{\star }{\hat{H}}^{\star }=\frac{-1}{\mathrm{i}\hslash }{\mathrm{\Phi }}^{\star }\hat{H}$

Vzhledem k tomu, že hamiltonián je hermiteovský operátor, bude platit $\hat{H}={\hat{H}}^{\star }$. Dosazením do předchozí rovnice dostaneme

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}⟨\hat{A}⟩=\frac{1}{\mathrm{i}\hslash }\int {\mathrm{\Phi }}^{\star }(\hat{A}\hat{H}-\hat{H}\hat{A})\mathrm{\Phi }\mathrm{d}{x}^3+⟨\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}⟩=\frac{1}{\mathrm{i}\hslash }⟨[\hat{A},\hat{H}]⟩+⟨\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}⟩$

Příklad

Pro hmotnou částici v potenciálním poli lze hamiltonián zapsat jako

$\hat{H}(x,p,t)=\frac{p^2}{2m}+V(x,t)$,

kde x je poloha částice. Předpokládejme, že chceme znát okamžitou změnu hybnosti p. Z Ehrenfestova teorému dostaneme

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}⟨\hat{p}⟩=\frac{1}{\mathrm{i}\hslash }⟨[\hat{p},\hat{H}]⟩+⟨\frac{\partial \hat{p}}{\partial t}⟩=\frac{1}{\mathrm{i}\hslash }⟨[\hat{p},V(x,t)]⟩$,

kde bylo využito toho, že p komutuje samo se sebou a v souřadnicové reprezentaci lze operátor hybnosti vyjádřit jako $\hat{p}=-\mathrm{i}\hslash \mathrm{\nabla }$, z čehož plyne $\frac{\partial \hat{p}}{\partial t}=0$. Tedy

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}⟨\hat{p}⟩=\int {\mathrm{\Phi }}^{\star }V(x,t)\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }\mathrm{d}{x}^3-\int {\mathrm{\Phi }}^{\star }\mathrm{\nabla }(V(x,t)\mathrm{\Phi })\mathrm{d}{x}^3$

Pomocí pravidla o derivaci součinu dostaneme

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}⟨\hat{p}⟩=⟨-\mathrm{\nabla }V(x,t)⟩=⟨\hat{F}⟩$.

Tento výraz má tvar druhého Newtonova zákona. Operátor $\hat{F}$ lze pak chápat jako operátor síly.

Jedná se o příklad principu korespondence.

Jiným příkladem je vztah mezi změnou polohy a hybností, který lze vyjádřit jako

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}⟨\hat{x}⟩=⟨\frac{\mathrm{d}\hat{x}}{\mathrm{d}t}⟩=\frac{⟨\hat{p}⟩}{m}$,

kde $m$ je hmotnost částice.

Související články

• Kvantová mechanika

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat