Dračí křivka

Dračí křivka (z angl. Dragon curve) je soběpodobná křivka, která má vlastnosti fraktálu. Může být aproximována např. L-systémem nebo systémem iterovaných funkcí. Poprvé jí popsal fyzik z výzkumného střediska NASA John Heighway,^[1] po kterém je někdy nazývána „Heighway Dragon“.

Vlastnosti

soběpodobnost – dračí křivka má mnoho sobě-podobných částí, které jsou vzájemně otočeny o 45° a jejich velikosti jsou násobky v poměru 1:√2

rozměry křivky jsou 1,5 × 1 (při délce výchozí úsečky 1)

délka křivky se každou iterací násobí √2, z každého segmentu délky s se stanou dva segmenty délky $\frac{s}{\sqrt{2}}$

\frac{2 s}{\sqrt{2}} = \frac{2 s}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} s

křivka nikdy neprotne sama sebe, to je vidět, když se vykreslí se zkosenými rohy

fraktálová dimenze křivky je $\frac{\ln 2}{\ln \sqrt{2}} = 2$ , jedná se tedy o plochu-vyplňující křivku
plocha křivky je $\frac{1}{2}$ (při délce výchozí úsečky 1)
fraktálovou dimenzi hranice křivky numericky aproximovali Angel Chang a Tianrong Zhang,^[2] dnes již známe analytické vyjádření:^[3]

\log_{2} (\frac{1 + \sqrt[3]{73 - 6 \sqrt{87}} + \sqrt[3]{73 + 6 \sqrt{87}}}{3}) ≅ 1.523627086202492 .

Konstrukce

Jedna z možných konstrukcí je následující. Začne se s úsečkou o libovolné délce. V Každém kroku se nad každou úsečkou postaví pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník. Přepona tohoto trojúhelníka bude výchozí úsečka a orientace trojúhelníka se bude střídat, na první úsečce doleva, na druhé doprava (směr vzhledem k průchodu křivkou). Nakonec se přepony odeberou a vznikne další iterace.

Animace vývoje:

L-systém

Výše uvedený postup lze simulovat následujícím L-systémem:

Šablona:L-systém

Tento L-systém je parametrický, dračí křivka však lze popsat i bezparametrickým L-systémem. Ten má tu nevýhodu, že výsledná velikost obrázku, záleží na počtu iterací (na rozdíl od prvního L-systému). Na druhou stranu se v něm nevyskytují žádná iracionální čísla, se kterými počítače neumí pracovat, proto bude aproximace velmi přesná i pro vysoké iterace.

Šablona:L-systém

Výsledek bude vznikat po iteracích takto:

Systémy iterovaných funkcí

Dračí křivka je také limita následujícího systému iterovaných funkcí v komplexní rovině:

f_{1} (z) = \frac{(1 + i) z}{2}

f_{2} (z) = 1 - \frac{(1 - i) z}{2} .

Použitím dvojice reálných čísel místo komplexního dostaneme tyto dvě funkce:

f_{1} (x, y) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} \cos 4 5^{\circ} & - \sin 4 5^{\circ} \\ \sin 4 5^{\circ} & \cos 4 5^{\circ} \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

f_{2} (x, y) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} \cos 13 5^{\circ} & - \sin 13 5^{\circ} \\ \sin 13 5^{\circ} & \cos 13 5^{\circ} \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

Skládání papíru

Pomocí proužku papíru se dá Dračí křivka sestrojit následovně. Proužek přehýbáme napůl tak dlouho, dokud nevznikne čtverec. Poté jednotlivá složení rozevíráme, vždy ale jen o 90 stupňů.

Kód v PHP

<?php
header("Content-type: image/png");
$image=imagecreatetruecolor(800,550);
$white=imagecolorallocate($image,255,255,255);
$points=array(array(188,190),array(700,190));
for($iteration=1;$iteration<17;$iteration++){
	$oldpoints=$points;
	$points=array();
	for($i=0;$i<count($oldpoints)-1;$i++){
		$points[]=array($x1=$oldpoints[$i][0],$y1=$oldpoints[$i][1]);
		$x2=$oldpoints[$i+1][0]; $y2=$oldpoints[$i+1][1];
		if($iteration&1){
			if($y1==$y2)
				{ $x3=($x1+$x2)/2; $y3=$y1+(($x1<$x2)^($i&1)?1:-1)*abs($x1-$x2)/2; }
			else
				{ $y3=($y1+$y2)/2; $x3=$x1+(($y1<$y2)^($i&1)?-1:1)*abs($y1-$y2)/2; }
		}else{
			if ($x1<$x2 && $y1<$y2){ $x3=($i&1)?$x2:$x1; $y3=($i&1)?$y1:$y2; }
			elseif($x1<$x2 && $y1>$y2){ $x3=($i&1)?$x1:$x2; $y3=($i&1)?$y2:$y1; }
			elseif($x1>$x2 && $y1<$y2){ $x3=($i&1)?$x1:$x2; $y3=($i&1)?$y2:$y1; }
			elseif($x1>$x2 && $y1>$y2){ $x3=($i&1)?$x2:$x1; $y3=($i&1)?$y1:$y2; }
		}
		$points[]=array($x3,$y3);
	}
	$points[]=end($oldpoints);
}
for($i=0;$i<count($points)-1;$i++)
	imageline($image,$points[$i][0],$points[$i][1],$points[$i+1][0],$points[$i+1][1],$white);
imagepng($image);

Výše uvedený kód nejdříve po jednotlivých iteracích vytváří nové body (vrcholy trojúhelníků nad stávajícími úsečkami), které nakonec hromadně vykreslí. Souřadnice všech bodů si uchovává v poli, jehož velikost se zdvojnásobuje s každou iterací. Vzhledem k jednoduchosti operace se zde lze obejít bez rovnic pro obecnou rotaci geometrických útvarů. Rekurze v tomto případě též není, zásobník více méně simuluje práce s polem; program by však šel do rekurze přepsat.

Dláždění roviny

Protože Dračí křivka má vlastnosti plochu-vyplňující křivky a dá se přikládat sama k sobě tak, že části na sebe těsně dolehnou, dá se pomocí ní dláždit rovina. Na následujících obrázcích je několik způsobů dláždění.