Doplnění na čtverec

Soubor:Completing the square.ogv Doplnění na čtverec je postup pro transformaci algebraických výrazů, ve kterých se vyskytují členy s proměnnou v první i druhé mocnině. Doplněním na čtverec se výraz upraví tak, že v něm vystupuje pouze kvadrát dvojčlenu obsahujícího tuto proměnnou. Zbavíme se tedy první mocniny proměnné. Přesně řečeno polynom druhého stupně v proměnné x

$a{x}^2+bx+c$

převedeme do tvaru

$a(x+h{)}^2+k$,

kde h a k jsou vhodně zvolené konstanty závislé na koeficientech a, b, c. Metodu lze použít například k řešení kvadratických rovnic, ke stanovení extrémů kvadratických funkcí, ke zjištění kanonického tvaru kvadriky nebo při výpočtu některých integrálů.

Doplnění na čtverec vychází z platnosti binomických formulí, tedy vzorečků $(u+v{)}^2=u^2+2uv+v^2$ a $(u-v{)}^2=u^2-2uv+v^2$. Pokud jsou po ruce první dva členy na pravé straně některé z těchto formulí, lze „přičarovat“ třetí člen tak, že k výrazu přičteme nulu v podobě $0=v^2-v^2$. Tím chybějící $v^2$ do výrazu doplníme a lze použít příslušnou formuli, tedy přejít ke čtverci $(u+v{)}^2$ nebo $(u-v{)}^2$.

Postup

Úprava kvadratické funkce

Daná kvadratická funkce:	$y=a{x}^2+bx+c$
Vytknutí koeficientu nejvyšší mocniny:	$y=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c$

V závorce nyní přičteme a zároveň odečteme stejnou vhodně zvolenou konstantu, čímž se hodnota závorky nezmění. Konstantu volíme tak, aby první tři sčítance tvořily čtverec nějakého dvojčlenu podle binomické formule. Jinými slovy chceme získat tvar $(x^2+2dx+d^2)-d^2$ Tento krok dal metodě jméno - doplňujeme nový člen, abychom získali čtverec, tedy druhou mocninu nějakého výrazu.

Doplnění na čtverec:	$y=a(x^2+\frac{b}{a}x+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2-{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2)+c$
První tři členy v závorce zapíšeme jako čtverec dvoujčlenu:	$y=a[{(x+\frac{b}{2a})}^2-{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2]+c$
Umocnění a roznásobení číslem a:	$y=a{(x+\frac{b}{2a})}^2-\frac{a{b}^2}{4a^2}+c$
Poslední úpravy a hotovo:	$y=a{(x+\frac{b}{2a})}^2+(c-\frac{b^2}{4a})$
Z finálního tvaru lze snadno odečíst souřadnice vrcholu této paraboly:	$(x,y)=(-\frac{b}{2a},c-\frac{b^2}{4a})$

$x_S=-b/(2a)$ je první souřadnice vrcholu - jde o záporně vzatý druhý sčítanec v umocněném dvojčlenu. Pokud totiž x nabývá této hodnoty, oba členy v první závorce se vyruší a dvojčlen je nulový, a tedy jeho druhá mocnina je nejmenší možná. Pro hodnotu $y$ čili druhou souřadnici vrcholu paraboly $y_S$ pak platí $y_S=c-a\cdot (x_S{)}^2$, což je přímo druhá závorka čili konstantní člen upraveného výrazu,

Příklad

Daná kvadratická funkce:	$y=2x^2-12x+13$
Vytkneme dvojku:	$y=2(x^2-6x)+13$

Protože $(\frac{6}{2}{)}^2=9$, přičteme „maskovanou nulu“ $9-9$:

Doplnění na čtverec:	$y=2(x^2-6x+9-9)+13$
Zapíšeme jako mocninu dvojčlenu:	$y=2[(x-3{)}^2-9]+13$
Roznásobíme:	$y=2(x-3{)}^2-18+13$
Upravíme:	$y=2(x-3{)}^2-5$
Souřadnice vrcholu:	$(x,y)=(3,-5)$

Řešení kvadratické rovnice

Doplnění na čtverec lze použít také k řešení kvadratické rovnice. Přitom si nepotřebujeme pamatovat vzoreček pro kořeny takové rovnice, stačí umět použít trik s doplněním na čtverec. Ukažme si to na příkladu:

Zadaná kvadratická rovnice:	$2x^2-12x=32$
Vykrácení:	$x^2-6x=16$

Levou stranu rovnice chceme mít ve tvaru $x^2-2dx+d^2$, abychom mohli použít vzorec pro čtverec dvojčlenu. Samozřejmě musíme $d^2$ přičíst také k pravé straně rovnice:

Doplnění na čtverec:	$x^2-6x+9=16+9$
Zapíšeme jako mocninu dvojčlenu:	$(x-3{)}^2=25$
Odmocníme (pozor, bereme i zápornou hodnotu odmocniny):	$x-3=\pm 5$
Napíšeme si obě lineární rovnice a vyřešíme je:	$x-3=-5$ nebo $x-3=5$
Množina řešení:	$x\in \{-2,8\}$

Integrace racionálních lomených funkcí

Neurčitý integrál

$\int \frac{1}{4x^2-8x+13}\mathrm{d}x$

lze ve jmenovateli upravit doplněním na čtverec

$4x^2-8x+13=\cdots =4(x-1{)}^2+9.$

Vytkneme-li a substituujeme za x - 1, dostaneme se k tabulkovému integrálu, v němž opět zpětně substituujeme x:

$\begin{array}{cc}\int \frac{1}{4x^2-8x+13}\mathrm{d}x& =\frac{1}{4}\int \frac{1}{(x-1{)}^2+(\frac{3}{2}{)}^2}\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{4}\cdot \frac{2}{3}\arctan \frac{2(x-1)}{3}+C\end{array}$

V posledním transformačním kroku se použil známý integrál, který lze nalézt v tabulce primitivních funkcí:

$\int \frac{1}{x^2+a^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$

Normální forma kvadriky

Kvadriku

$Q=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid q(x,y)=0\}$, kde $q(x,y)=x^2+4xy+5y^2-6x-14y+9$

chceme upravit na afinní normální formu. Nejprve doplníme na čtverec v proměnné $x$ ($y$ se v tuto chvíli považuje za parametr), a potom v $y$. Postup je

$\begin{array}{cc}q(x,y)& =x^2+(4y-6)x+5y^2-14y+9\\ & =x^2+(4y-6)x+(2y-3{)}^2-(2y-3{)}^2+5y^2-14y+9\\ & =(x+2y-3{)}^2-(2y-3{)}^2+5y^2-14y+9\\ & =(x+2y-3{)}^2+y^2-2y\\ & =(x+2y-3{)}^2+y^2-2y+1^2-1^2\\ & =(x+2y-3{)}^2+(y-1{)}^2-1\end{array}$

Substitucí $u=x+2y-3$, $v=y-1$ získáme rovnicí kružnice $u^2+v^2=1$.

Literatura

• FA Willers, KG Krapf: Elementar-Mathematik: Ein Vorkurs zur Höheren Mathematik. 14. Vydání. Springer, 2013, Šablona:ISBN, s. 84-86

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat