Distribuce (diferenciální geometrie)

V diferenciální geometrii se zavádějí jistá zobrazení, která zobrazují z diferencovatelné variety do jejích tečných prostorů. Každému bodu variety je specifickým způsobem přiřazen vektorový prostor, který je podprostorem tečného prostoru v daném bodě variety. Takovýmto zobrazením se říká distribuce. Navzdory svému názvu nemají nic společného s distribucemi alias zobecněnými funkcemi známými z matematické analýzy.

Definice

Mějme diferencovatelnou varietu $M$ a označme tečný prostor v libovolném bodě této variety $p\in M$ jako $T_{p}M$. Pak termínem k-rozměrná distribuce na varietě $M$ rozumíme hladké přiřazení k-rozměrného podprostoru $T_{p}M$ každému bodu $p\in M$. Toto přiřazení značíme ${\mathrm{\Delta }}_k$. Neboli

$(\mathrm{\forall }p\in M)(\mathrm{\exists }U=U^{\circ }\subset M,p\in U)(\mathrm{\exists }{X}_1,\dots ,X_k\in 𝒳(U))(\mathrm{\forall }q\in U)(\{X_1{|}_q,\dots X_k{|}_q\}\text{jsou LN a}{\mathrm{\Delta }}_k(q)=\text{span}\{X_1{|}_q,\dots ,X_k{|}_q\})$,

kde $U\subset M$ je okolí bodu $p\in M$, $𝒳(U)$ je množina (hladkých) vektorových polí na okolí $U$, $\text{span}$ značí lineární obal vektorů, LN je zkratka pro "lineární nezávislost" a $X_i{|}_q$ označuje hodnotu vektorového pole $X_i$ v bodě $q\in U$.

Občas se v definici k-rozměrné distribuce nepožaduje její hladkost. Výše uvedenou definicí se v takovém případě zavádí pojem hladké k-rozměrné distribuce.

Přidružené pojmy

Uvažujme nyní diferencovatelnou varietu $M$ o dimenzi n a na ní definovanou k-rozměrnou distribuci ${\mathrm{\Delta }}_k$. O této distribuci řekneme, že je (úplně) integrabilní, právě když pro každý bod $p\in M$ existuje jeho okolí $U=U^{\circ }\subset M$ a na něm souřadnice $(x^1,\dots ,x^k,y^1,\dots ,y^{n-k})$ takové, že plochy určené soustavou rovnic

$\begin{array}{ccc}{y}^1& =& konst.\\ & ⋮& \\ y^{n-k}& =& konst.\end{array}$

(bráno jako podmnožiny v okolí $U$) jsou integrální podvariety ${\mathrm{\Delta }}_k$. Souřadnice $(x^1,\dots ,x^k,y^1,\dots ,y^{n-k})$ pak nazýváme Frobeniova mapa.

Uvažujme opět diferencovatelnou varietu $M$ a na ní definovanou k-rozměrnou distribuci ${\mathrm{\Delta }}_k$. Dále nechť $N$ je n-rozměrná vnořená podvarieta variety $M$, tj. existuje vnoření $i:N\to M$. Pokud

$(\mathrm{\forall }p\in N)(i_{\ast }(T_{p}N)\subset {\mathrm{\Delta }}_k(i(p)))$,

kde $i_{\ast }$ označuje tečné zobrazení k zobrazení $i$, tak podvarietu $N$ nazveme n-rozměrnou integrální podvarietou.

Frobeniova věta o integrabilitě distribucí

Buď ${\mathrm{\Delta }}_k$ k-rozměrná distribuce na diferencovatelné varietě $M$. Pokud platí

$(\mathrm{\forall }U=U^{\circ }\subset M)(\mathrm{\forall }X,Y\in 𝒳(U))(\mathrm{\forall }p\in U)(X{|}_p,Y{|}_p\in {\mathrm{\Delta }}_k(p)\Rightarrow [X,Y]{|}_p\in {\mathrm{\Delta }}_k(p))$,

tak k ${\mathrm{\Delta }}_k$ existuje v okolí každého bodu integrální podvarieta.(Význam jednotlivých symbolů ve vzorci je tentýž jako ve vzorcích předchozích.)

Krátce řečeno, pokud je ${\mathrm{\Delta }}_k$ v involuci, tj. $[{\mathrm{\Delta }}_k,{\mathrm{\Delta }}_k]\subset {\mathrm{\Delta }}_k$, tak je ${\mathrm{\Delta }}_k$ integrabilní.