Descartesův list

Descartesův list

Descartesův list je kubika - algebraická křivka třetího stupně, která má v kartézské soustavě souřadnic rovnici:

$x^3+y^3-3axy=0$ .

Parametr $3a$ je definován jako úhlopříčka čtverce, jehož strana se rovná délce největší tětivy smyčky.

Křivka tvoří smyčku v prvním kvadrantu s uzlem - dvojitým bodem v počátku a připomíná tvar listu po kterém byla pojmenována.

Její osou symetrie je přímka o rovnici: $y=x$ .

Bod A se nazývá vrchol, má souřadnice $(\frac{3a}{2},\frac{3a}{2})$ .

Její asymptota má rovnici $x+y+a=0$ .

Obsah vnitřní oblasti listu (mezi oblouky $ACO$ a $ABO$) je $S_1=\frac{3}{2}{a}^2$

Obsah plochy mezi asymptotou a křivkou se rovná obsahu vnitřku smyčky $S_2=S_1=\frac{3}{2}{a}^2$ .

Historie

Poprvé byla rovnice křivky studována R. Descartem v roce 1638, ale vytvořil smyčku pouze v prvním kvadrantu, kde $x$ a $y$ jsou kladné hodnoty. Descartes věřil, že smyčka se opakuje symetricky ve všech čtyřech kvadrantech, ve formě čtyř okvětních lístků. V té době byla tato křivka nazývána jasmínovým květem.

Ve své moderní podobě byla tato křivka poprvé představena Ch. Huygensem v roce 1692 .

Rovnice

• V kartézské soustavě souřadnic podle definice:

$x^3+y^3-3axy=0$

• V polární soustavě souřadnic :

$\rho =\frac{3a\cos \phi \sin \phi }{{\cos }^3\phi +{\sin }^3\phi }$ .

• Parametrická rovnice v kartézském systému:

$\{\begin{array}{c}x=\frac{3at}{1+t^3}\\ y=\frac{3a{t}^2}{1+t^3}\end{array}$ kde $t=\tan \phi$ .

Otočená křivka Descartesova listu

Často se znázorňuje o $135^{\circ }$otočená křivka. Její rovnice vypadají takto:

• V pravoúhlém systému:

$y=\pm x\sqrt{\frac{l+x}{l-3x}}$ kde $l=\frac{3a}{\sqrt{2}}$

• Parametricky:

$x=l\frac{p^2-1}{3p^2+1},y=l\frac{p(p^2-1)}{3p^2+1}$

• V polárních souřadnicích:

$\rho =\frac{l({\sin }^2\phi -{\cos }^2\phi )}{\cos \phi ({\cos }^2\phi +3{\sin }^2\phi )}$

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat