Charakteristická funkce

Jako charakteristická funkce se v matematice označuje taková funkce, která pro nějakou podmnožinu A dané množiny X indikuje, které prvky X patří do A, to znamená, že její hodnota pro prvky množiny A je rovna jedné, pro všechny ostatní body nule.

Definice

${\chi }_A:X\to \{0,1\}$ je charakteristická funkce množiny A v množině X, pokud platí

${\chi }_A(x)=\{\begin{array}{cc}1& \text{pokud}x\in A,\\ 0& \text{pokud}x\notin A.\end{array}$

Značení

Značení charakteristické funkce není jednotné, mimo ${\chi }_A(x)$ se používá také $1_A(x)$, $c_A(a)$ či dokonce jen A(x) (zejména v teorii vyčíslitelnosti).

Vlastnosti

Jsou-li A a B dvě podmnožiny množiny X, pak platí

${\chi }_{A\cap B}=\min \{{\chi }_A,{\chi }_B\}={\chi }_A\cdot {\chi }_B,$

${\chi }_{A\cup B}=\max \{{\chi }_A,{\chi }_B\}={\chi }_A+{\chi }_B-{\chi }_A\cdot {\chi }_B,$

Speciální tvary

• pokud je charakteristická funkce množiny A obecně rekurzivní, je množina A rekurzivní

Související články

• Dirichletova funkce
• Fuzzy množina