Chaitinovo číslo

Chaitinovo číslo, Ω, někdy také Chaitinova konstanta, je matematická konstanta definovaná

$\mathrm{\Omega }=\sum _{x\in \{0,1{\}}^{*}:U(x)\to STOP}{2}^{-l(x)}$

Součet je veden přes všechny konečné posloupnosti 0 a 1 takové, že univerzální Turingův stroj $U$ pro danou posloupnost $x$ na vstupu zastaví; $l(x)$ je délka $x$. Z Kraftovy nerovnosti plyne, že suma je omezená a tedy dokazatelně konverguje k reálnému číslu, pro nějž platí $0<\mathrm{\Omega }<1$. Toto reálné číslo však nelze žádným algoritmem spočítat s přesností vyšší než striktně daný počet binárních míst; speciálně pak neexistuje algoritmus schopný hodnotu Chaitinova čísla libovolně aproximovat. Znalost hodnoty $\mathrm{\Omega }$ s dostatečnou přesností by totiž řešila problém zastavení, o němž Alan Turing dokázal, že je algoritmicky neřešitelný.

Chaitinovo číslo je tedy reálné číslo, pro nějž je matematicky dokazatelné, že jej nebudeme umět nikdy spočítat ani se k jeho hodnotě přiblížit nad určitou mez přesnosti.

Vlastnosti

• Chaitinovo číslo $\mathrm{\Omega }$ je rovno limitě pravděpodobnosti, že univerzální Turingův stroj zastaví pro náhodně generovanou posloupnost délky $n$ nul a jedniček na vstupu, je-li tato generována jako iid z alternativního rozdělení s parametrem $p=1/2$

• Ve dvojkovém zápisu prvních $n$ znaků hodnoty $\mathrm{\Omega }$ se poměr 0 a 1 blíží $1/2$. Odpovídající vlastnost platí rovněž pro zápis $\mathrm{\Omega }$ v soustavě s libovolným základem.

• Obecněji jakákoli předem dané binární slovo se ve dvojkovém zápise $\mathrm{\Omega }$ vyskytuje s četností odpovídající jeho pravděpodobnosti při iid generování z alternativního rozdělení s parametrem $p=1/2$. Vlastnost rovněž zůstává zachována také pro zápis $\mathrm{\Omega }$ v soustavě s libovolným základem $d$; pravděpodobnost je nutno přepočítat pro diskrétní rovnoměrné rozdělení s parametrem $d$

• Chaitinovo číslo je transcendentní reálné číslo a je tedy i iracionální.