Cauchyho–Riemannovy podmínky

V matematice, konkrétně v komplexní analýze, jsou Cauchyho-Riemannovy podmínky nutnou (ne však postačující) podmínkou, aby daná funkce byla holomorfní (tedy komplexně diferencovatelná). Postačující podmínkou je např. pokud mají funkce u,v spojité parciální derivace. Jde o parciální diferenciální rovnice pojmenované po Augustinu Cauchym a Bernhardu Riemannovi. Poprvé se tyto rovnice objevily roku 1752 v práci D'Alemberta.

Cauchyova-Riemannova věta

Následující tvrzení, které charakterizuje holomorfní funkce pomocí Cauchyových-Riemannových podmínek, bývá označováno jako Cauchyova-Riemannova věta.

Buď f(x + iy) = u + iv funkce z otevřené podmnožiny komplexních čísel C do C, kde x a y jsou reálná čísla a u, v jsou reálné funkce definované na otevřené podmnožině R². Potom f je holomorfní právě když u a v jsou spojitě diferencovatelné a jejich parciální derivace splňují Cauchyho-Riemannovy podmínky:

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$

a

$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.$

Kompaktní formulace

Tyto dvě podmínky lze ekvivalentně vyjádřit pomocí jediného vztahu:

$i\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial y}.$

Formulace v polárních souřadnicích

Je-li komplexní číslo zapsáno v polárních souřadnicích: $z=r{e}^{i\theta }$, lze zapsat Cauchyho-Riemannovy podmínky ve tvaru:

$\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta },$

$\frac{\partial v}{\partial r}=-\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta }.$

Kompaktní formulace v polárních souřadnicích

Opět lze tyto dvě rovnice zapsat pomocí jediné:

$\frac{\partial f}{\partial r}=\frac{1}{ir}\frac{\partial f}{\partial \theta },$

kde derivace uvažujeme v bodě $r{e}^{i\theta }$.

Odvození

Jako derivace funkce dvou proměnných

První možností jak vést důkaz je říci, že má-li funkce parciální derivaci jako funkce dvou proměnných, potom musí mít stejnou hodnotu podél všech křivek procházejících daným bodem. Máme-li funkci f(z) = u(x, y) + i v(x, y) nad C, a počítáme-li derivaci v bodě, z₀, přibližujeme se k z₀ nejprve po křivce podél reálné osy a poté podél imaginární osy. Obě hodnoty derivací musí vyjít stejné.

Podél reálné osy:

$f^{\prime }(z)$	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(z+h)-f(z)}{h}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{u(x+h,y)+iv(x+h,y)-[u(x,y)+iv(x,y)]}{h}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{[u(x+h,y)-u(x,y)]+i[v(x+h,y)-v(x,y)]}{h}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }[\frac{u(x+h,y)-u(x,y)}{h}+i\frac{v(x+h,y)-v(x,y)}{h}],$

což je z definice parciální derivace rovno

$f^{\prime }(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}.$

Podél imaginární osy:

$f^{\prime }(z)$	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(z+ih)-f(z)}{ih}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{u(x,y+h)+iv(x,y+h)-[u(x,y)+iv(x,y)]}{ih}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }[\frac{u(x,y+h)-u(x,y)}{ih}+i\frac{v(x,y+h)-v(x,y)}{ih}]$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }[-i\frac{u(x,y+h)-u(x,y)}{h}+\frac{v(x,y+h)-v(x,y)}{h}]$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }[\frac{v(x,y+h)-v(x,y)}{h}-i\frac{u(x,y+h)-u(x,y)}{h}].$

tedy opět z definice parciální derivace:

$f^{\prime }(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}.$

Porovnáním těchto dvou výsledků

$\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}.$

Má-li se rovnat reálná i imaginární část bude

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$

$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.◻$

Pomocí reprezentace derivace jako lineárního zobrazení

Další možností, jak odvodit Cauchyho-Riemannovy podmínky je uvažovat komplexní derivaci jako lineární zobrazení a to dvěma způsoby – jako zobrazení z $ℂ$ do $ℂ$ a jako zobrazení z ${ℝ}^2$ do ${ℝ}^2$.

Chápeme-li f přirozeným způsobem jako funkci z ${ℝ}^2$ do ${ℝ}^2$, je lineární zobrazení L totálním diferenciálem f v bodě z, platí-li:

$f(z+h)=f(z)+L(h)+\xi (h)$, kde $\xi$ je funkce splňující $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\xi (h)}{\Vert h\Vert }=0.$

Na druhou stranu si uvědomme, že komplexní číslo w je komplexní derivací funkce $f:ℂ\to ℂ$ v bodě z, právě když pro všechna $h\in ℂ$ platí:

$f(z+h)=f(z)+w\cdot h+\xi (h)$, kde $\xi$ je opět funkce splňující $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\xi (h)}{|h|}=0.$

Přitom w = s + it určuje jednoznačně lineární zobrazení $W:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ dané maticí

$W=\left(\begin{array}{cc}s& -t\\ t& s\end{array}\right).$

Toto zobrazení splňuje (stále při přirozeném ztotožňování komplexních čísel s vektory z ${ℝ}^2$) vztah $W(h)=w\cdot h$, tedy platí:

$f(z+h)=f(z)+W(h)+\xi (h)$, kde $\xi$ je opět funkce splňující $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\xi (h)}{|h|}=0.$.

Tedy na jednu stranu, má-li f v bodě z komplexní derivaci w, je zobrazení W totálním diferenciálem $f(x,y)=u(x,y)+i\cdot v(x,y)$ a tedy platí:

$W=\left(\begin{array}{cc}s& -t\\ t& s\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial u}{\partial x}(z)& \frac{\partial u}{\partial y}(z)\\ \frac{\partial v}{\partial x}(z)& \frac{\partial v}{\partial y}(z)\end{array}\right),$

odkud Cauchyho-Riemannovy podmínky zřejmě plynou.

Na druhou stranu, má-li f = u + iv spojité parciální derivace v z, má v z totální diferenciál:

$\mathrm{d}f(z)=\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial u}{\partial x}(z)& \frac{\partial u}{\partial y}(z)\\ \frac{\partial v}{\partial x}(z)& \frac{\partial v}{\partial y}(z)\end{array}\right).$

Pak z dříve dokázaných vztahů je číslo $w=\frac{\partial u}{\partial x}(z)+i\cdot \frac{\partial v}{\partial x}(z)$ komplexní derivací funkce f, neboť díky platnosti Cauchyho-Riemannových podmínek je lineární zobrazení W určené takto definovaným w rovno $\mathrm{d}f(z)$. $◻$

Reference

• Veselý, J.: Komplexní analýza, Karolinum Praha, 2000

Externí odkazy

• Šablona:MathWorld