Cantorova–Bernsteinova věta

Cantorova-Bernsteinova věta (také Cantorova-Schröderova-Bernsteinova věta) je matematické tvrzení z oblasti teorie množin, které má zásadní význam pro srovnávání nekonečných mohutností. Tvrdí, že

• existuje-li prosté zobrazení z množiny $A$ do $B$ (jinými slovy $A$ má nejvýše stejnou mohutnost, jako $B$),
• a pokud zároveň existuje prosté zobrazení z $B$ do$A$ (tj. $A$ má nejméně stejnou mohutnost, jako $B$),
• pak mezi nimi existuje bijekce, tj. obě mají stejnou mohutnost.

Toto tvrzení lze dokázat v naivní i axiomatické teorii množin, a to i bez použití axiomu výběru, který porovnání nekonečných mohutností zásadně usnadňuje. Platí tedy i ve „světech matematiky“ (tj. modelech ZF), které axiom výběru nesplňují.

Znění

Nejpřirozenější formulací Cantorovy-Bernsteinovy věty je následující:

Má-li množina A mohutnost menší nebo rovnu než množina B a množina B má mohutnost menší nebo rovnu než množina A, pak množiny A,B mají stejnou mohutnost.

Zapracujeme-li do této formulace i definici pojmu mohutnosti, dostaneme zápis o trochu méně srozumitelný, z nějž je však lépe vidět podstata problému:

Existují-li prosté zobrazení množiny A do množiny B, a prosté zobrazení množiny B do množiny A, pak existuje bijekce mezi těmito dvěma množinami.

Příklad použití

Tato věta je užitečná v případech, kdy pro množinu, jejíž mohutnost je zkoumána, lze najít horní i dolní odhad její mohutnosti a oba dva jsou stejné.

Mohutnost reálných čísel

Reálná čísla lze bijektivně zobrazit na $\mathbb{P}(\mathbb{N})$, tj. množinu všech podmnožin přirozených čísel. Bez Cantorovy-Bersteinovy věty je ovšem důkaz pracný.

Reálná čísla lze funkcí arkus tangens zobrazit na otevřený interval $(-\pi /2,\pi /2)$ a ten lineárně „posunout a stlačit“ na $(0;1)$. Proto stačí nalézt bijekci mezi $(0;1)$ a $\mathbb{P}(\mathbb{N})$.

Důkaz bez použití věty

Každý prvek $\mathbb{P}(\mathbb{N})$ lze chápat jako posloupnost nul a jedniček, potažmo jako desetinný rozvoj nějakého reálného čísla z $⟨0;1⟩$ v binární (tj. dvojkové) soustavě; dvojkovou soustavou lze zapisovat reálná čísla podobně, jako v desítkové soustavě. Např. množině $\{2,5,6\}\in \mathbb{P}(\mathbb{N})$ lze přiřadit desetinný rozvoj $0,010011$ (který je konečný, tj. pokračující dále jen nulami) a tento rozvoj reprezentuje reálné číslo $2^{-2}+2^{-5}+2^{-6}=\frac{16+2+1}{64}=0,296875$.

Pokud se množina všech takových binárních rozvojů označí ${\mathbb{N}}^{}2$, každé číslo z $(0;1)$ lze takto reprezentovat alepoň jedním rozvojem z ${\mathbb{N}}^{}2$, ale ne vždy jednoznačně: např. konečný rozvoj $0,011$ reprezentuje stejné reálné číslo ($3/8=0,375$), jako rozvoj $=0,01011\bar{1}\dots$, v němž symbol $\bar{1}$ značí, že rozvoj pokračuje dále jen jedničkami.

Proto je třeba najít množinu $V$ „vyřazených“ desetinných rozvojů tak, aby nevyřazené přesně koresponovaly s reálnými čísly z $(0;1)$, tj. aby existovala bijekce mezi $(0;1)$ a množinovým rozdílem ${\mathbb{N}}^{}2-V$. K tomu poslouží $V$ skládající se z konečných rozvojů a z rozvoje $0,\bar{1}$.

Dále je potřeba v ${\mathbb{N}}^{}2-V$ zvolit dvě nekonečně spočetné množiny $S_1,S_2,S_1\cap S_2=\mathrm{\varnothing }$; to lze různými způsoby.

Hledanou bijekcí mezi ${\mathbb{N}}^{}2$ a ${\mathbb{N}}^{}2-V$ je pak zobrazení, které

• Prvku množiny $S_1$ nebo $S_2$ přiřadí prvek $S_2$; takové přiřazení existuje, neboť sjednocení dvou spočetně nekonečných množin je opět spočetně nekonečná množina.
• Prvku $V$ přiřadí nějaký prvek $S_1$; to lze, neboť obě jsou nekonečně spočetné.
• Ostatní prvky budou zobrazeny na sebe samotné, tj. na ${\mathbb{N}}^{}2-V-S_1-S_2$ bude zobrazení definováno jako identita.

Důkaz s použitím věty

Důkaz s využitím Cantorovy-Bersteinovy věty je snazší a nevyžaduje tolik technických konstrukcí:

• Reálných čísel z $(0;1)$ je „alespoň tolik“, jako množin z $\mathbb{P}(\mathbb{N})$, protože každé takové množině $M$ lze přiřadit reálné číslo, které má v desetinném rozvoji jen (např.) pětky a šestky, přičemž šestky jsou právě na pozicích z $M$.
• Platí ale též, že čísel v $(0;1)$ je „nejvýše tolik“, jako podmnožin $N$, protože každému číslu lze přiřadit jeho desetinný rozvoj, přičemž existují-li dva, použije se ten konečný (tj. končící samými nulami).

Z těchto dvou prostých zobrazení plyne podle Cantorovy-Bersteinovy věty, že existuje bijekce mezi $\mathbb{P}(\mathbb{N})$ a $(0;1)$ a tedy i $ℝ$.

Spojité funkce

Buď ${ℝ}^{}ℝ$ množina všech reálných funkcí, tj. zobrazení z $ℝ$ do $ℝ$. Buď $ℂ𝕠𝕟𝕥{(}^{ℝ}ℝ)$ množina těch reálných funkcí, které jsou spojité. Cantorovou-Bernsteinovou větou lze dokázat, že $ℂ𝕠𝕟𝕥{(}^{ℝ}ℝ)$ má stejnou mohutnost, jako $ℝ$.

Dolním odhadem mohutnosti $ℂ𝕠𝕟𝕥{(}^{ℝ}ℝ)$ je samotné $ℝ$: každému reálnému číslu $c$ lze přiřadit např. konstantní funkci $f(x)=c$. Toto prosté zobrazení z $ℝ$ do $ℂ𝕠𝕟𝕥{(}^{ℝ}ℝ)$ dokazuje, že spojitých funkcí na $ℝ$ je nejméně tolik, jako reálných čísel.

Stačí nalézt prosté zobrazení v opačném směru, tj. z $ℂ𝕠𝕟𝕥{(}^{ℝ}ℝ)$ do $ℝ$, které dokáže, že spojitých funkcí je „nejvýše tolik“, jako reálných čísel. K tomu lze využít fakt, že spojitá funkce je jednoznačně určena svými hodnotami v racionálních bodech. Buď ${\mathbb{Q}}^{}ℝ$ množina všech zobrazení z racionálních čísel do reálných. Ne každý prvek ${\mathbb{Q}}^{}ℝ$ definuje spojitou funkci, ale každá spojitá funkce je jednoznačně definována některým prvkem ${\mathbb{Q}}^{}ℝ$. To je prostým zobrazením z $ℂ𝕠𝕟𝕥{(}^{ℝ}ℝ)$ do ${\mathbb{Q}}^{}ℝ$.

V předchozí sekci bylo dokázáno, že existuje bijekce mezi reálnými čísly a ${\mathbb{N}}^{}2$, tj. zobrazeními z přirozených čísel do dvouprvkové množiny. Každý prvek ${\mathbb{Q}}^{}ℝ$ lze tedy reprezentovat jako zobrazení $g$, které racionálnímu číslu přiřadí zobrazení, které je prvkem ${\mathbb{N}}^{}2$. K němu lze sestrojit zobrazení $h$, které dvojici $(q,n)$ z kartézského součinu $\mathbb{Q}\times \mathbb{N}$ přiřadí číslo, které přirozenému číslu $n$ přiřadí zobrazení $g(q)$. Tedy je-li $d=(q,n)$ uspořádaná dvojice z $\mathbb{Q}\times \mathbb{N}$, je $h(d)=g(q)(n)\in 2$. Podrobněji řečeno, jelikož $g(q)$ je zobrazení z $\mathbb{N}$ do dvouprvkové množiny, jeho hodnota pro $n$ je prvek dvouprvkové množiny značené $2$. Při zavedeném značení tedy platí $g(q){\in }^{\mathbb{N}}2,g{\in }^{\mathbb{Q}}{(}^{\mathbb{N}}2),h{\in }^{\mathbb{Q}\times \mathbb{N}}2$.

Existuje bijekce mezi $\mathbb{Q}\times \mathbb{N}$ a $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ a tedy i $\mathbb{N}$. Z ní lze zkonstruovat bijekci mezi ${\mathbb{Q}\times \mathbb{N}}^{}2$ a ${\mathbb{N}}^{}2$.

Tím je sestrojena série prostých zobrazení

$ℝ\to ℂ𝕠𝕟𝕥{(}^{ℝ}ℝ){\to }^{\mathbb{Q}}ℝ{\leftrightarrow }^{\mathbb{Q}}{(}^{N}2){\leftrightarrow }^{\mathbb{Q}\times \mathbb{N}}2{\leftrightarrow }^{\mathbb{N}}2\leftrightarrow ℝ$

Bijekce jsou zde vyznačeny dvojitou šipkou; poslední z nich byla dokázána v předchozí sekci. Složením těchto zobrazení dostáváme

$ℝ\to ℂ𝕠𝕟𝕥{(}^{ℝ}ℝ)\to ℝ$

To dokazuje, že reálných čísel je „nejvýše tolik“ a zároveň „nejméně tolik“ jako spojitých funkcí. Podle Cantorovy-Bersteinovy věty tedy mezi těmito množinami existuje bijekce; bez této věty by důkaz vyžadoval podstatně složitější technickou konstrukci.

Důkaz

Zobrazení h

Nechť $f:A\to B$ a $g:B\to A$ jsou prostá zobrazení. Definujeme zobrazení $h:P(A)\to P(A)$, kde P(A) je potenční množina A (množina všech podmnožin A), takto pro $U\subseteq A:h(U)=g[B-f[A-U]]$ (viz obrázek). Snadno je vidět, že h je monotónní (pro $U\subseteq V$ je $h(U)\subseteq h(V)$). Dále se dokáže, že každé monotónní zobrazení mezi P(A) a P(A) má pevný bod (množinu U takovou, že $U=h(U)$). K tomu stačí zvolit $U=\bigcup \{V\subseteq A;V\subseteq h(V)\}$. Nakonec, je-li $W\subseteq A$ pevný bod h, položíme $F(x)=\{\begin{array}{c}f(x)\text{ pro x}\in A-W\\ g^{-1}(x)\text{ pro x}\in W\end{array}$. Snadno se ověří, že $F:A\to B$ je bijekce.

Jiný důkaz

Zobrazení $f$ i $g$ je množina uspořádaných dvojic; je třeba rozhodnout, které dvojic z $D=f\cup g$ zařadit do hledaného zobrazení $h$.

Buď $R_0$ množina dvojic $(a,b)$, které v $h$ být musí, protože v $D$ neexistuje jiná dvojice s týmž $a$ nebo v něm neexistuje jiná dvojice s týmž $b$. Pak množina $S_0$ dvojic, které v $h$ být jistě nemohou, je tvořena takovými dvojicemi z $D$, které mají společnou první nebo druhou složku s některou dvojicí z $R_0$.

Pak ale musí v $h$ být každá dvojice $(a,b)$ pro kterou v $D$ žádná dvojice s týmž $a$ (nebo týmž $b$) buď neexistuje, nebo je mezi vyloučenými, tj. $(a,b)\in S_0$. Buď $R_1$ množina takových dvojic.

Obdobně, jako $R_0,S_0,R_1$ se sestrojí $S_1$, pak $R_2,S_2$, pak $R_3,S_3$ atd. Postupně se tak rozšiřuje informace o tom, které dvojice v hledaném $h$ jistě budou v každé bijekci mezi $A$ a $B$ a které jistě nebudou v žádné.

V $h$ tedy musí ležet všechny dvojice z kterékoli $R_i$ pro přirozené $i$, tj. $h\supseteq \bigcup _{i\in \mathbb{N}}{R}_i$. Lze ukázat, že vhodná bijekce $h$ vznikne, pokud chybějící hrany doplníme z $f$.

Historie

Prvním, kdo formuloval tvrzení Cantorovy-Bernsteinovy věty, byl roku 1882 Georg Cantor. Ještě téhož roku se však Cantor svěřil Dedekindovi, že toto tvrzení nedovede dokázat. Cantor pravdivost tohoto tvrzení mnohokrát ohlásil, dokázáno však bylo až v letech 1896 resp. 1897 Friedrichem W. Schröderem a Felixem Bernsteinem.

Literatura

• Šablona:Citace monografie

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat