Burgersova rovnice

Burgersova rovnice je jednou ze základních parciálních diferenciálních rovnic mechaniky tekutin. Objevuje se v mnoha partiích aplikované matematiky, jako je například dynamika plynů a modelování dopravního toku. Rovnice je pojmenována po J. M. Burgersovi (1895–1981). Je ekvivalentní Navierově–Stokesově rovnici pro nestlačitelný tok bez tlakového členu.

Pro danou rychlost $u$ and koeficient vazkosti $\nu$ je obecný tvar jednorozměrné Burgersovy rovnice (rovněž známé pod pojmem vazká Burgesova rovnice) tvaru:

$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}=\nu \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$.

Je-li $\nu =0$, Burgersova rovnice se stává nevazkou Burgersovou rovnicí:

$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}=0,$

což je jeden z typů rovnic, v jejichž řešení se mohou vyskytnout nespojitosti (rázové vlny). Předešlá rovnice je advekční formou Burgersovy rovnice. Konzervativní forma je tvaru:

$\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial x}\left(u^2\right)=0.$

Řešení

Nevazká Burgersova rovnice

Nevazká Burgersova rovnice je parciální diferenciální rovnicí prvního řádu. Její řešení může být zkonstruováno pomocí metody charakteristik. Tato metoda říká, že pokud je $X(t)$ řešením obyčejné diferenciální rovnice

$\frac{\mathrm{d}X(t)}{\mathrm{d}t}=u[X(t),t],$

pak

$U(t):=u[X(t),t]$

je konstantní vzhledem k $t$. Tudíž $[X(t),U(t)]$ je řešením soustavy obyčených diferenciálních rovnic:

$\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t}=U,$

$\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t}=0.$

Řešení této soustavy je vyjádřeno pomocí počáteční hodnoty výrazem:

$X(t)=X(0)+tU(0),$

$U(t)=U(0).$

Při substituci $X(0)=\eta$, kdy platí $U(0)=u[X(0),0]=u(\eta ,0)$, můžeme zapsat soustavu ve tvaru

$X(t)=\eta +tu(\eta ,0)$

$U(t)=U(0).$

Celkově:

$u(\eta ,0)=U(0)=U(t)=u[X(t),t]=u[\eta +tu(\eta ,0),t].$

Toto je implicitní vztah určující řešení nevazké Burgesovy rovnice za předpokladu, že se jednotlivé charakteristiky vzájemně neprotínají. Pokud k průniku charakteristik dojde, pak neexistuje klasické řešení rovnice.

Vazká Burgersova rovnice

Vazká Burgersova rovnice může být linearizována Coleovou–Hopfovou transformací

$u=-2\nu \frac{1}{\varphi }\frac{\partial \varphi }{\partial x},$

z čehož dostáváme rovnici tvaru

$\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{1}{\varphi }\frac{\partial \varphi }{\partial t}\right)=\nu \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{1}{\varphi }\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}\right),$

která může být přepsána jako

$\frac{\partial \varphi }{\partial t}=\nu \frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}+f(t)\varphi ,$

kde $f(t)$ je libovolná funkce. Pokud poslední člen vymizí, obdržíme difuzní rovnici

$\frac{\partial \varphi }{\partial t}=\nu \frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}.$

Můžeme tedy řešit počáteční úlohu:

$u(x,t)=-2\nu \frac{\partial }{\partial x}\ln \{(4\pi \nu t{)}^{-1/2}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp [-\frac{(x-x^{\prime }{)}^2}{4\nu t}-\frac{1}{2\nu }\underset{0}{\overset{x^{\prime }}{\int }}u(x^{″},0)\mathrm{d}{x}^{″}]\mathrm{d}{x}^{\prime }\}.$

Externí odkazy

• Šablona:En Burgers' Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Šablona:En Burgers' Equation Šablona:Wayback at NEQwiki, the nonlinear equations encyclopedia.
• Šablona:En Burgers shock-waves and sound in a 2D microfluidic droplets ensemble Phys. Rev. Lett. 103, 114502 (2009).