Boltzmannovo rozdělení

Boltzmannovo rozdělení (někdy označované Gibbsovo) je rozdělení pravděpodobnosti nebo pravděpodobnostní míra, používané zejména ve statistické fyzice a matematice. Udává pravděpodobnost, že fyzikální systém bude v jistém stavu, jako funkci energie tohoto stavu a teploty systému. Rozdělení má tvar:

p_{i} \propto e^{- \frac{ε_{i}}{k T}}

kde Šablona:Mvar je pravděpodobnost, že systém bude ve stavu Šablona:Mvar, Šablona:Mvar je energie tohoto stavu a jmenovatel Šablona:Mvar je součin Boltzmannovy konstanty Šablona:Mvar a termodynamické teploty Šablona:Mvar. Symbol $\propto$ označuje přímou úměrnost; převrácená hodnota konstanty úměrnosti, jež normalizuje pravděpodobnosti tak, aby jejich součet byl roven jedné, se označuje jako partiční funkce.

Pojem systém zde má velmi široký význam; může sahat od jednoho atomu k makroskopickým systémům, jako je zásobník zemního plynu. Z tohoto důvodu lze Boltzmannovo rozdělení použít k řešení velmi široké škály problémů. Vzorec ukazuje, že stavy s nižší energií mají vyšší pravděpodobnost, že budou obsazeny.

Poměr pravděpodobností dvou stavů je označován jako Boltzmannův faktor a závisí pouze na rozdílu energie stavů:

\frac{p_{i}}{p_{j}} = e^{\frac{ε_{j} - ε_{i}}{k T}}

Boltzmannovo rozdělení je pojmenováno podle Ludwiga Boltzmanna, který jej poprvé formuloval v roce 1868 při výzkumu statistické mechaniky plynů v tepelné rovnováze.^[1] Rozdělení bylo později podrobně zkoumáno v moderní generické podobě Josiahem Willardem Gibbsem.

Boltzmannovo rozdělení maximalizuje entropii

H (p_{1}, p_{2}, \dots, p_{M}) = - \sum_{i = 1}^{M} p_{i} \log_{2} p_{i}

při okrajové podmínce, že $\sum p_{i} ε_{i}$ se rovná konkrétní střední hodnotě energie, odpovídající teplotě systému (což lze prokázat pomocí Lagrangeových multiplikátorů).

Boltzmannovo rozdělení není totéž jako Maxwellovo–Boltzmannovo rozdělení. Boltzmannovo rozdělení udává pravděpodobnost, že systém bude v určitém stavu, jako funkci energie tohoto stavu,^[2] zatímco Maxwellovo–Boltzmannovo rozdělení popisuje rychlosti částic v idealizovaných plynech.