Boltzmannova rovnice

Boltzmannova rovnice, známá také jako Boltzmannova transportní rovnice, zavedená Ludwigem Boltzmannem, popisuje statistické rozdělení jedné částice v tekutině. Je to důležitá rovnice nerovnovážné statistické mechaniky, oblasti statistické mechaniky, která se zabývá systémy, které jsou daleko od termodynamické rovnováhy; např. v přítomnosti teplotního gradientu nebo elektrického pole. Boltzmannova rovnice se používá ke studiu schopnosti tekutiny transportovat fyzikální veličiny jako teplo a náboj, a tedy k odvození transportních vlastností, např. elektrické vodivosti, Hallovy vodivosti, viskozity a tepelné vodivosti.

Přehled

Boltzmannova rovnice je rovnice pro časový vývoj rozdělovací funkce $f(𝐱,𝐩,t)$ v jednočásticovém fázovém prostoru, kde $𝐱$ je poloha a $𝐩$ je hybnost. Rozdělení je definováno tak, že

$f(𝐱,𝐩,t)\mathrm{d}𝐱\mathrm{d}𝐩$

je počet částic, které se v čase $t$ nacházejí v prostorovém elementu ${\mathrm{d}}^{3}x$ v okolí $𝐱$ a jejich hybnost je v intervalu ${\mathrm{d}}^{3}p$ v okolí $𝐩$.

Působí-li na částice popsané $f$ vnější síla $𝐅$, musí $f$, za předpokladu neexistence srážek, splňovat

$f(𝐱+\frac{𝐩}{m}\mathrm{d}t,𝐩+𝐅\mathrm{d}t,t+\mathrm{d}t)\mathrm{d}𝐱\mathrm{d}𝐩=f(𝐱,𝐩,t)\mathrm{d}𝐱\mathrm{d}𝐩,$

což znamená, že mají-li nějaké částice v čase $t$ souřadnici $𝐱$ a hybnost $𝐩$, v čase $t+\mathrm{d}t$ budou (všechny) v $𝐱+\frac{𝐩}{m}\mathrm{d}t$, s hybností $𝐩+𝐅\mathrm{d}t$.

Protože však ke srážkám dochází, tak se hustota částic v elementu fázového prostoru $\mathrm{d}𝐱$ $\mathrm{d}𝐩$ mění.

$f(𝐱+\frac{𝐩}{m}\mathrm{d}t,𝐩+𝐅\mathrm{d}t,t+\mathrm{d}t)\mathrm{d}𝐱\mathrm{d}𝐩-f(𝐱,𝐩,t)\mathrm{d}𝐱\mathrm{d}𝐩={\frac{\partial f(𝐱,𝐩,t)}{\partial t}|}_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}}\mathrm{d}𝐱\mathrm{d}𝐩\mathrm{d}t.$

Vydělením rovnice $\mathrm{d}𝐱\mathrm{d}𝐩\mathrm{d}t$ vznikne v limitě Boltzmannova rovnice

$\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial 𝐱}\cdot \frac{𝐩}{m}+\frac{\partial f}{\partial 𝐩}\cdot 𝐅={\frac{\partial f}{\partial t}|}_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}}.$

$𝐅(𝐱,t)$ je síla působící mezi částicemi v tekutině a $m$ je hmotnost částic. Člen na pravé straně rovnice popisuje efekt srážek mezi částicemi; je-li roven nule, částice se nesrážejí. Bezsrážková Boltzmannova rovnice je často chybně nazývána Liouvillova rovnice (Liouvillova rovnice je N-částicová rovnice).

Molekulární chaos a srážkový člen (Stosszahl Ansatz)

Výše uvedená Boltzmannova rovnice nemá velký praktický význam, neboť nechává srážkový člen nespecifikovaný. Klíčová myšlenka použitá Boltzmannem byla určit srážkový člen výhradně ze srážek dvou částic, o kterých se předpokládá, že před srážkou jsou nekorelované. Tento předpoklad byl Boltzmannem nazýván 'Stosszahl Ansatz', a je také znám jako předpoklad molekulárního chaosu. Za tohoto předpokladu lze srážkový člen psát jako integrál v hybnostním prostoru přes součin jednočásticových rozdělovacích funkcí:

${\frac{\partial f}{\partial t}|}_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}}=\int \int g(𝐩\mathbf{-}{𝐩}^{\prime },𝐪)[f(𝐱,𝐩\mathbf{+}𝐪,t)f(𝐱,{𝐩}^{\prime }\mathbf{-}𝐪,t)-f(𝐱,𝐩,t)f(𝐱,{𝐩}^{\prime },t)]\mathrm{d}{𝐩}^{\prime }\mathrm{d}𝐪.$