Betzovo pravidlo

Betzovo pravidlo zformuloval Albert Betz při studiu teorie větrem poháněných strojů. Pravidlo odvozuje, jaká maximální množství energie lze získat pomocí rotoru z média, pohybujícího se zadanou rychlostí. Pro odvození maximální účinnosti takového stroje (například větrné turbíny) lze vycházet z představy, že médium se pohybuje ve formě válce s průřezem rovným průřezu disku rotoru a výškou odpovídající rychlosti průtoku média.

Nechť v₁ je rychlost média nabíhajícího na rotor a v₂ rychlost média za rotorem. Průměrná rychlost média vzhledem k disku rotoru bude v_avg, kde

$v_{\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{g}}=\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}\cdot (v_1+v_2)$

Jestliže je plocha disku rotoru rovna S, a ρ je hustota média, bude hmotnostní tok média diskem za jednotku času roven:

$\dot{m}=\rho \cdot S\cdot v_{\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{g}}=\frac{\rho \cdot S\cdot (v_1+v_2)}{2}$

Odvedená práce bude rovna rozdílu kinetických energií média nabíhajícího na rotor a média opouštějícího rotor:

$\dot{E}=\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}\cdot \dot{m}\cdot (v_1^2-v_2^2)$

$=\begin{array}{c}\frac{1}{4}\end{array}\cdot \rho \cdot S\cdot (v_1+v_2)\cdot (v_1^2-v_2^2)$

$=\begin{array}{c}\frac{1}{4}\end{array}\cdot \rho \cdot S\cdot v_1^3\cdot (1-(\frac{v_2}{v_1}{)}^2+(\frac{v_2}{v_1})-(\frac{v_2}{v_1}{)}^3)$.

Na vodorovnou osu je vynesen poměr rychlostí média před a za rotorem $\begin{array}{c}\frac{v_2}{v_1}\end{array}$, svislá osa ukazuje průběh součinitele výkonnosti C_p.

Derivací $\dot{E}$ podle $\begin{array}{c}\frac{v_2}{v_1}\end{array}$ pro dané rychlosti v₁ a daný průměr disku rotoru S získáme extrém funkce$\dot{E}$. Výsledkem je hodnota maxima $\dot{E}$ pro $\begin{array}{c}\frac{v_2}{v_1}=\frac{1}{3}\end{array}$.

Po dosazení této hodnoty je zřejmé, že:

$E_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\begin{array}{c}\frac{16}{27}\cdot \frac{1}{2}\end{array}\cdot \rho \cdot S\cdot v_1^3$.

Práce, kterou může odevzdat médium s rychlostí v₁ rotoru o průřezu S (tedy „válec“) bude rovna:

$E=\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}\cdot \rho \cdot S\cdot v_1^3$.

„Součinitel výkonnosti“ C_p (= $\begin{array}{c}\frac{E_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}{E}\end{array}$) dosahuje maxima pro: C_p.max = $\begin{array}{c}\frac{16}{27}\end{array}$ = 0,593, tedy 59,3 %

Rotory reálných zařízení (například větrných turbín) vykazují další ztráty energie, které jejich účinnost dále snižují. Moderní zařízení proto dosahují hodnot C_p v rozsahu od 0,4 do 0,5, tedy 70 až 80 % teoreticky možných.

Reference

Betz, A. (1966) Introduction to the Theory of Flow Machines. (D. G. Randall, Trans.) Oxford: Pergamon Press. Šablona:Autoritní data