Analýza hlavních komponent

Analýza hlavních komponent (Šablona:Cizojazyčně, PCA) je v teorii signálu transformace sloužící k dekorelaci dat. Často se používá ke snížení dimenze dat s co nejmenší ztrátou informace. PCA je možno najít také jako Karhunen-Loèveho transformaci, Hotellingovu transformaci, nebo jako singulární rozklad (SVD; v lineární algebře).

Z následujícího vzorce je vidět, že PCA je jen přepsáním vstupu do jiné souřadné soustavy:

$Y=XP$

kde X je centrovaná matice n x d se vstupními d-rozměrnými daty v n řádcích, Y obdobná matice výstupních dat, P je d x d matice vlastních vektorů kovarianční matice $C_X$ splňující vztah $C_X=P\mathrm{\Lambda }{P}^T$, kde $\mathrm{\Lambda }$ je diagonální matice obsahující na diagonále vlastní čísla $C_X$ a matice vlastních vektorů $P$ je ortonormální, tj. $P^{T}P=I_d$, kde $I_d$ je jednotková matice dimenze $d$.

Vlastní vektory (sloupce matice P) tvoří onu novou souřadnou soustavu. Centrování matice X dosáhneme odečtením příslušného výběrového průměru od každého sloupce.

Odvození

Matice Y je zřejmě také centrovaná, tj. aritmetický průměr každého jejího sloupce je 0.

Spočítáme, jak musí vypadat kovarianční matice nových dat Y:

$C_Y=E(Y^{T}Y)=E[(XP{)}^T(XP)]=E(P^T{X}^{T}XP)=P^{T}E(X^{T}X)P=P^T{C}_{X}P=P^{T}P\mathrm{\Lambda }{P}^{T}P=\mathrm{\Lambda }.$

Vzhledem k tomu, že matice $\mathrm{\Lambda }$ je diagonální,

$C_Y=\mathrm{\Lambda }=\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & \ddots & \\ & & {\lambda }_d\end{array}\right),$

vidíme, že sloupce matice Y jsou nekorelované a výběrový rozptyl každého sloupce se rovná příslušnému vlastnímu číslu.

Použití

Seřadíme-li vlastní vektory v P podle velikosti vlastních čísel ${\lambda }_i$, budeme dostávat složky v Y setříděné podle rozptylu. Pokud chceme snížit dimenzi dat, stačí z Y vzít jen tolik prvních složek kolik uznáme za vhodné. Vybírání komponenty s největším rozptylem nemusí být vždy nejlepší. Například pokud máme rozpoznávat třídy, které se liší právě ve složkách s malým rozptylem, které tímto postupem zahodíme.

Rozpoznávání

V rozpoznávání slouží PCA jako jedna z tzv. Feature Extraction metod (extrakce rysů). Používají ji například kriminalisté pro rozpoznávání obličejů.

Komprese

Jednoduchá komprese barevného nebo multispektrálního obrazu. Využívá vysoké korelace mezi jednotlivými spektrálními kanály a převede obrázek pomocí PCA na jednu nebo několik málo složek s většinou informace.

Odkazy

Související články

• singulární rozklad
• samoorganizující síť

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• http://www.cs.otago.ac.nz/cosc453/student_tutorials/principal_components.pdf — jednoduché vysvětlení PCA spolu s matematickým základem
• https://web.archive.org/web/20040809034742/http://robotics.eecs.berkeley.edu/~rvidal/cvpr03-gpca-final.pdf — vysvětlení pokročilejší zobecněné PCA
• Příklady využití analýzy hlavních komponent na zřetelnější zobrazení struktur u grafických souborů (anglicky)