Alef 0

${\mathrm{\aleph }}_0$ (Alef 0) (ve stejném významu se používá též ${\omega }_0$ či jen $\omega$) je nejmenší nekonečné ordinální i kardinální číslo.

Vlastnosti

${\mathrm{\aleph }}_0$ je

• limitní ordinál a limitní kardinál
• regulární ordinál
• mohutností množiny přirozených, racionálních i algebraických čísel
• nejmenší hodnotou funkce alef

Značení

V současné době jsou všechna tři značení pro nejmenší nekonečný ordinál (tj. ${\mathrm{\aleph }}_0,{\omega }_0,\omega$) považována za v podstatě rovnocenná. Z historických důvodů ovšem bývá zvykem používat značení

• ${\mathrm{\aleph }}_0$ pokud hovoříme o tomto čísle jako o čísle kardinálním,
• ${\omega }_0$ a $\omega$ pokud o něm hovoříme jako o čísle ordinálním, přičemž index 0 se většinou užívá tehdy, uvažujeme-li toto číslo v kontextu vyšších počátečních ordinálních čísel.

Toto značení má své historické opodstatnění. V počátcích naivní teorie množin byla ordinální a kardinální čísla chápána jako typy dobrých uspořádání resp. mohutností množin, tedy jako odlišné objekty, které spolu nemají nic společného. Ordinální číslo $\omega$ bylo chápáno jako typ dobrého uspořádání množiny přirozených čísel, tj. jako typ uspořádání, které je limitou typů uspořádání konečných množin. Odtud zřejmě pochází označení $\omega$ posledním písmenem řecké abecedy. Naopak kardinální číslo ${\mathrm{\aleph }}_0$ je nejmenším z řady typů nekonečných velikostí. Odtud pochází označení ${\mathrm{\aleph }}_0$ prvním písmenem hebrejské abecedy א (alef) (nejvyšší mohutnost, mohutnost třídy všech kardinálních čísel označil Georg Cantor posledním písmenem hebrejské abecedy ת (tav)).

Související články

• Funkce alef
• Epsilon 0
• Tav (číslo)