142857

Šablona:Unicode 142 856 142 857 142 858 Šablona:Unicode
Šablona:Infobox - číslo/řada
Celé číslo	142 857 sto čtyřicet dva tisíc osm set padesát sedm
Rozklad	33 · 11 · 13 · 37
Dělitelé	1, 3, 9, 11, 13, 27, 33, 37, 39, 99, 111, 117, 143, 297, 333, 351, 407, 429, 481, 999, 1221, 1287, 1443, 3663, 3861, 4329, 5291, 10989, 12987, 15873, 47619, 142857
Římskými číslicemi
Dvojkově	1000101110000010012
Trojkově	210202220003
Čtyřkově	2023200214
Pětkově	140324125
Šestkově	30212136
Sedmičkově	11333317
Osmičkově	4270118
Šestnáctkově	22E0916

142857 je přirozené číslo. Představuje šest periodických číslic čísla 1/7, $0,\overline{142857}$, jedná se pravděpodobně o nejznámější cyklické číslo v desítkové soustavě. Pokud je vynásobeno 2, 3, 4, 5, nebo 6, výsledek je cyklická permutace sebe sama a koresponduje s opakujícími se číslicemi 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, a 6/7.

Výpočty

142857 × 1 = 142857	1 ÷ 7 = 0,Šablona:Overline
142857 × 2 = 285714	2 ÷ 7 = 0,Šablona:Overline
142857 × 3 = 428571	3 ÷ 7 = 0,Šablona:Overline
142857 × 4 = 571428	4 ÷ 7 = 0,Šablona:Overline
142857 × 5 = 714285	5 ÷ 7 = 0,Šablona:Overline
142857 × 6 = 857142	6 ÷ 7 = 0,Šablona:Overline
142857 × 7 = 999999	7 ÷ 7 = [[0,999...|0,Šablona:Overline]] = 1
(viz dále)	8 ÷ 7 = 1,Šablona:Overline
	9 ÷ 7 = 1,Šablona:Overline

Pokud se 142857 vynásobí číslem větším než 7, existuje poměrně jednoduchý proces jak dostat opět cyklickou permutaci čísla 142857. Sečtením pravých šesti číslic se zbylými číslicemi a opakováním, dokud nezůstane pouze 6 číslic. Vznikne opět cyklická permutace 142857, např.:

142857 × 8 = 1142856

1 + 142856 = 142857

142857 × 815 = 116428455

116 + 428455 = 428571

142857² = 142857 × 142857 = 20408122449

20408 + 122449 = 142857

Násobením násobkem čísla 7 vyjde opět po použití předešlého procesu číslo 999999.

142857 × 7⁴ = 342999657

342 + 999657 = 999999

Rozdíl kvadrátů prvního a druhého trojčíslí (kterékoli cyklické permutace 142857) dá (v absolutní hodnotě) opět cyklickou permutaci, např.:

857² − 142² = 734449 − 20164 = 714285

1/7 jako nekonečná řada

Existuje model, podle kterého jde tato nekonečná řada sestavit. Krom toho, že se 1/7 skládá z opakování 142857, lze číslo napsat i s využitím zdvojení, řazení a sčítání, která dává 1/7.

$\begin{array}{cc}1/7& =0,142857142857142857\dots \\ & =0,14+0,0028+0,000056+0,00000112+0,0000000224+0,000000000448+0,00000000000896+\cdots \\ & =\frac{14}{100}+\frac{28}{100^2}+\frac{56}{100^3}+\frac{112}{100^4}+\frac{224}{100^5}+\cdots +\frac{7\times 2^N}{100^N}+\cdots \\ & =(\frac{7}{50}+\frac{7}{50^2}+\frac{7}{50^3}+\frac{7}{50^4}+\frac{7}{50^5}+\cdots +\frac{7}{50^N}+\cdots )\\ & =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{7}{50^k}\end{array}$

Každý člen je dvojnásobek předchozího posunutý o dvě místa doprava.

Externí odkazy

• Stránka čísla 142857
• 142857 Kalkulačka