Špičaté těleso

Špičaté těleso

Špičaté těleso je těleso se základnou, ve které všechny body po obvodu jsou spojeny s vrcholem,Šablona:Zdroj kde:

$S_b$ je plocha základny vespod (největší část)

v je výška vrcholu od základny (kolmá).

Objem

Objem se počítá tak, že naše těleso rozsekáme po výšce tedy na ose y na tenké plátky o tloušťce d y a ty zintegrujeme dohromady integrálem.

$V=\underset{0}{\overset{v}{\int }}S(y)dy$,

kde

$S(y)=S_b.(1-\frac{y}{v}{)}^2=S_b.(1-\frac{2.y}{v}+\frac{y^2}{v^2})$,

potom

$V=S_b\underset{0}{\overset{v}{\int }}(1-\frac{2.y}{v}+\frac{y^2}{v^2})dy=S_b.[y-\frac{2.y^2}{2v}+\frac{y^3}{3.v^2}{]}_0^v=S_b.(v-\frac{2.v^2}{2v}+\frac{v^3}{3.v^2}-0)=S_b.(v-v+\frac{v}{3})$.

Z toho vyplývá, že

$V=S_b.\frac{1}{3}v$

a vidíme zde, že je naprosto jedno, jaký tvar má základna a kde je vrchol, důležité je jen, v jaké kolmé výšce od základny se vrchol nachází, a dále může být mimo základnu a nebo nad ní či kdekoliv.

Povrch

Povrch vypočítáme tak, že sečteme povrch základny a pláště. Povrch pláště zase tak, že obvod základny rozdělíme na body s tloušťkou $di$ a délkou L(i),

kde L(i) je délka spojnice bodu $di$ a vrcholu.

$P=\underset{0}{\overset{l}{\int }}L(i)di$