Čebyševova nerovnost pro konečné součty

Čebyševova nerovnost pro konečné součty je matematická věta pojmenovaná podle Pafnutije Lvoviče Čebyševa, která zní:

Nechť jsou dána reálná čísla $x_1\le x_2\le ...\le x_n$ a $y_1\le y_2\le ...\le y_n$.

Pak platí

$n(x_1{y}_n+x_2{y}_{n-1}+...+x_n{y}_1)\le (x_1+x_2+...+x_n)(y_1+y_2+...+y_n)\le n(x_1{y}_1+x_2{y}_2+...+x_n{y}_n),$

kde rovnost nastává, právě když $x_1=x_2=...=x_n$ nebo $y_1=y_2=...=y_n$.

Důkaz

Získáme součtem n permutačních nerovností, v nichž jako permutace použijeme postupně

1, 2, 3, …, n,

2, 3, 4, …, 1,

3, 4, 5, …, 2,

n, 1, 2, …, n-1

Související články

• Čebyševova nerovnost