Účinný průřez

Účinný průřez vyjadřuje pravděpodobnost, s jakou bude některá ostřelující částice z nalétávajícího svazku interagovat s částicí terče. Za interakci lze považat například klasický odraz, Coulombický rozptyl (tedy rozptyl způsobený elektrickým polem) nebo jaderné či jiné reakce.

Značí se $\sigma$.

Účinný průřez je velmi důležitou veličinou při studiu srážek mikroskopických částic.

Celková pravděpodobnost interakce částic se označuje jako celkový (totální, integrální) účinný průřez. Tato veličina určuje, s jakou pravděpodobností bude dopadající částice rozptýlena do libovolného směru, případně s jakou pravděpodobností proběhne reakce. O vlastnostech interakce (a tedy i interagujících částic) však říká mnohem více diferenciální účinný průřez, který charakterizuje pravděpodobnosti rozptylu do jednotlivých směrů v prostoru.

Celkový účinný průřez

Celkový účinný průřez reakce se definuje jako

$\sigma =\frac{R}{N\mathrm{\Gamma }}$,

kde $R$ $[s^{-1}]$ je četnost reakcí, $N$ $[-]$ je počet částic terčíku a $\mathrm{\Gamma }[{\mathrm{m}}^{-2}{\mathrm{s}}^{-1}]$ je tok ostřelujících částic. Účinný průřez má tedy jednotku $m^2$.

Pro model zahrnující pouze srážky pevných těles bez vlivu sil je účinný průřez shodný s reálným průřezem terčíkových částic. Reakce (odraz) nastane, narazí-li nalétavající částice do tohoto průřezu.

Větší význam má zavedení účinného průřezu, bude-li se počítat s elektromagnetickými, jadernými, či jinými interakcemi. Zde se již vytrácí analogie s klasickým průřezem a je třeba mít na zřeteli, že se jedná o pravděpodobnost reakce a tedy o statistickou veličinu.

Celkový účinný průřez lze také získat integrací diferenciálního účinného průřezu přes všechny rozptylové úhly $\theta$, tedy přes celý prostorový úhel, tzn.

$\sigma =\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\mathrm{d}\sigma$

Diferenciální účinný průřez

Počet částic svazku, které dopadají na jednotkovou plochu kolmou k dopadajícímu svazku za jednotkový čas bývá označován jako proudová hustota $j$ svazku. Různé částice svazku se k terčíkové částici přiblíží na různou vzdálenost (náměrná vzdálenost) a budou tedy rozptýleny do různých směrů, takže jejich rozptylové úhly budou odlišné. Srážkový parametr je vzdálenost částice svazku od osy svazku, která prochází silovým centrem (terčíkovou částicí). Označí-li se počet částic rozptýlených za časovou jednotku (jedním silovým centrem) do úhlu mezi $\theta$ a $\theta +\mathrm{d}\theta$ jako $\mathrm{d}N$, pak vzhledem k tomu, že každá částice dopadajícího svazku je rozptylována nezávisle a tedy $\mathrm{d}N$ je úměrné proudové hustotě $j$, lze zavést diferenciální účinný průřez jako

$\mathrm{d}\sigma =\frac{\mathrm{d}N}{N}$,

kde $N$ označuje počet dopadajících částic a $\mathrm{d}N$ představuje počet částic, které byly rozptýleny do intervalu úhlů od $\theta$ do $\theta +\mathrm{d}\theta$.

Tato veličina je charakteristikou interakce částic a nikoliv jejich geometrického uspořádání. Termín diferenciální zohledňuje skutečnost, že se jedná o charakteristiku rozptylu do úhlu $\mathrm{d}\theta$. Diferenciální účinný průřez $\mathrm{d}\sigma$ udává počet částic rozptýlených jedním silovým centrem (terčíkovou částicí) za jednotku času do úhlu mezi $\theta$ a $\theta +\mathrm{d}\theta$ při jednotkové proudové hustotě svazku, tedy při proudové hustotě, které odpovídá dopad jedné částice za 1 s na 1m².

Celkový počet částic $\mathrm{d}\nu$ rozptýlených za čas $\mathrm{\Delta }t$ do úhlu mezi $\theta$ a $\theta +\mathrm{d}\theta$ získáme vynásobením diferenciálního účinného průřezu počtem rozptylových center, časovým intervalem $\mathrm{\Delta }t$ a proudovou hustotou $j$ dopadajícího svazku.

Rozptylový úhel $\theta$ bývá monotónně klesající funkcí srážkového parametru $b$. Vztah mezi $b$ a $\theta$ je v takovém případě jednoznačný. Do úhlů mezi $\theta$ a $\theta +\mathrm{d}\theta$ budou v takovém případě rozptýleny pouze částice svazku, které mají srážkové parametry mezi $b(\theta )$ a $b(\theta )+\mathrm{d}b(\theta )$. Jedná se o částice svazku, které ve svazku prochází uvnitř mezikruží s poloměry $b$ a $b+\mathrm{d}b$. Při proudové hustotě $j$ je jejich počet $\mathrm{d}N=2\pi bj\mathrm{d}b$. Pro diferenciální účinný průřez pak vychází

$\mathrm{d}\sigma =2\pi b\mathrm{d}b$

Diferenciací $b(\theta )$ dostaneme $\mathrm{d}b=\frac{\mathrm{d}b}{\mathrm{d}\theta }\mathrm{d}\theta$ a dosazením do předchozího vztahu vznikne

$\mathrm{d}\sigma =2\pi b\left|\frac{\mathrm{d}b}{\mathrm{d}\theta }\right|\mathrm{d}\theta$

Absolutní hodnota byla zavedena proto, že derivace $\frac{\mathrm{d}b}{\mathrm{d}\theta }$ je obvykle záporná, zatímco $\mathrm{d}\sigma$ je definována jako nezáporná veličina.

Diferenciální účinný průřez bývá zvykem vyjadřovat prostřednictvím elementu prostorového úhlu $\mathrm{d}\mathrm{\Omega }=2\pi \sin \theta \mathrm{d}\theta$. předchozí vztah pak získá tvar

$\mathrm{d}\sigma =\frac{b(\theta )}{\sin \theta }\left|\frac{\mathrm{d}b}{\mathrm{d}\theta }\right|\mathrm{d}\mathrm{\Omega }$

Související články

• Rozptyl
• Ráz těles
• Rutherfordův experiment
• Barn