Laplaceova transformace

Laplaceova transformace v matematice označuje jednu ze základních integrálních transformací. Používá se k řešení některých obyčejných diferenciálních rovnic, zejména těch, jež se objevují při analýze chování elektrických obvodů, harmonických oscilátorů a optických zařízení. V technice se s ní setkáme při studiu vlastností systémů spojitě pracujících v čase, kde je protějškem Z-transformace pro diskrétní systémy.

Užitečnost Laplaceovy transformace spočívá v tom, že převádí funkce reálné proměnné na funkce komplexní proměnné způsobem, při němž se mnohé složité vztahy mezi původními funkcemi radikálně zjednoduší.

Laplaceovu transformaci odvodil roku 1812 francouzský matematik Pierre-Simon de Laplace. Již dříve (1737) však tuto transformaci použil Leonhard Euler při řešení jistých obyčejných diferenciálních rovnic.

Definice

Laplaceova transformace

Nechť je funkce $f(t)$ spojitá (nebo alespoň po částech spojitá) a definovaná na intervalu $⟨0,\mathrm{\infty })$. Pak Laplaceova transformace $L\{f(t)\}$ funkce $f(t)$ je definována integrálním vztahem:

$L\{f(t)\}(s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-st}dt$,

kde $s$ je komplexní nezávisle proměnná. Obraz funkce $f(t)$ při Laplaceově transformaci je funkce jedné komplexní proměnné $s$, často ji značíme $F(s)$. Definičním oborem $F$ je oblast konvergence integrálu (viz níže).

Funkci $f(t)$ nazýváme originálem a funkci $F(s)$ obrazem funkce $f(t)$.

Inverzní Laplaceova transformace

Inverzní Laplaceova transformace je dána vztahem:

$L^{-1}\{F(s)\}=\frac{1}{2\pi i}\underset{c-i\mathrm{\infty }}{\overset{c+i\mathrm{\infty }}{\int }}F(s)e^{st}ds=\frac{1}{2\pi i}\underset{\{c+iu;u\in ℝ\}}{\int }F(s)e^{st}ds$,

kde $c$ je libovolné reálné číslo ležící v oblasti konvergence $F$ (pak celá přímka $\mathrm{Re}(s)=c$, přes niž se integruje, leží v oblasti konvergence (viz níže)).

Vlastnosti Laplaceovy transformace

Existence

I v případě, že funkce $f(t)$ je na celém intervalu $⟨0,\mathrm{\infty })$ spojitá a definovaná, nemusí její obraz existovat. Jestliže totiž má mít definiční integrál konečnou hodnotu, musí $f(t)$ splňovat kritérium konvergence

$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }|f(t)|e^{-st}=0$.

Například funkce $f(t)=e^{t^2}$ tuto podmínku nesplňuje, a proto její obraz neexistuje.

Oblast konvergence

Pro danou funkci $f$ se množina hodnot $s$, pro něž integrál v Laplaceově transformaci konverguje, nazývá oblast konvergence. Lze ukázat, že jestliže integrál konverguje pro $f$ v bodě $s_0$, pak konverguje v každém bodě $s$, pro který $\mathrm{Re}(s)>\mathrm{Re}(s_0)$. Oblast konvergence Laplaceovy transformace je tedy $\{s;\mathrm{Re}(s)>R\}$, kde $R$ je dáno chováním funkce $f(t)$ pro $t\to \mathrm{\infty }$.

Vztah k inverzní Laplaceově transformaci

Pro každou funkci $f$ takovou, že $L\{f\}$ existuje, platí pro skoro všechna $t$ (Lerchova věta):

$f(t)=L^{-1}\{L\{f(t)\}\}$

Vztah k derivaci

Výhodou použití Laplaceovy transformace pro počítání diferenciálních rovnic je její vztah k derivaci:

$L\{f^{(n)}\}=s^{n}L\{f\}-s^{n-1}f(0_{+})-\cdots -s{f}^{(n-2)}(0_{+})-f^{(n-1)}(0_{+})$

Vzorec lze odvodit pomocí integrace per partes a platí právě tehdy, když jednotlivé derivace existují. Tento vztah umožňuje přímé začlenění počátečních podmínek do výpočtu řešení diferenciální rovnice.

Základní vlastnosti Laplaceovy transformace

Pro dané funkce $f(t)$ a $g(t)$, a jejich příslušné Laplaceovy transformace $F(s)$ a $G(s)$ následující tabulka shrnuje vlastnosti Laplaceovy transformace:

Vlastnosti jednostranné Laplaceovy transformace

	Vzor	Obraz	Komentář
Linearita	$af(t)+bg(t)$	$aF(s)+bG(s)$	Obrazem lineární kombinace vzorů je lineární kombinace obrazů s týmiž koeficienty. Odvodit lze na základě definičního vztahu. Této vlastnosti se využívá při odvozování goniometrických a hyperbolických funkcí.
Derivování podle parametru	$tf(t)$	$-F^{\prime }(s)$
Derivování originálu	$f^{\prime }(t)$	$sF(s)-f(0_{+})$	Získá se z integrování per partes. Odčítá se limita funkce zprava v počátku (počáteční podmínka).
Integrování originálu	$\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )d\tau =u(t)*f(t)$	$\frac{1}{s}F(s)$	$u(t)$ je Heavisideova funkce.
Podobnost	$f(at)$	$\frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right)$	$a>0$
Tlumení	$e^{at}f(t)$	$F(s-a)$
Konvoluce	$(f*g)(t)$	$F(s)\cdot G(s)$
Posunutí (věta o translaci)	$f(t-a)$	$e^{-as}F(s)$	Posunutí proměnné $t$ v originále o konstantu $a>0$ se projeví vynásobením obrazu výrazem $e^{-as}$

Odkazy

Související články

• Integrální transformace
• Fourierova transformace
• Z-transformace

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• Šablona:MathWorld
• Učební text z FEL ČVUT o Laplaceově transformaci, Nováková,Hyánková,Průcha Šablona:Wayback