Deformace

Schéma deformace z pohledu fyziky

Pojmem deformace tělesa rozumíme změnu jeho tvaru. Těleso mění tvar v důsledku působení zatížení (síly, momenty síly, oteplení atp.). Silové působení mění vzájemné polohy atomů, ze kterých se těleso skládá. V případě, že se po odstranění působící síly těleso vrátí do původního tvaru, mluvíme o pružné (elastické, vratné) deformaci. Pružné deformace se vyskytují u pružných látek. V důsledku působení sil může rovněž dojít k nevratným změnám v poloze atomů tělesa. Tvar tělesa se po odstranění působící síly již nevrátí do původního stavu. V takovém případě mluvíme o nepružné (nevratné) deformaci popř. úžeji o plastické deformaci. Tyto deformace lze pozorovat např. u elastoplastických nebo plastických látek.

Zůstávají-li během deformace body původně ležící v jedné rovině ve stejné rovině i po deformaci, označuje se taková deformace jako rovinná.

Síly působící na těleso lze rozlišovat podle druhu napětí, které v tělese vyvolávají na tahové, tlakové, smykové, ohybové nebo torzní, případně jejich kombinace. Tyto síly bývají také označovány jako deformační síly.

Neuvažuje-li se při popisu tělesa jeho deformace, mluvíme o tuhém (rigidním) tělesu.

Deformace v mechanice kontinua

V mechanice kontinua lze deformace popsat srovnáním deformovaného a nedeformovaného stavu kontinua.

Deformace dělíme na:

• posuvy (změna vzdálenosti či změnu úhlu polohy tělesa), příkladem je například prohnutí stropu
• poměrné deformace (posuv vztažený na původní polohu).

Posuvy (posunutí) u_i

V čase $t=0$ můžeme popsat polohu částic kontinua jako $y_j=y_j(x_i,0)=x_j$. V čase $\mathrm{\Delta }t$ pak bude poloha odpovídajících částic určena jako $y_j=y_j(x_i,\mathrm{\Delta }t)$. Lze definovat vektor posunutí $u_i$, který obvykle vyjadřujeme v metrech jako

$u_i=y_i-x_i$

Vektor posunutí má tedy počátek v místě, kde se částice nacházela na počátku sledovaného pohybu a konec v místě konečné polohy částice. Pomocí vektoru posunutí je možné deformační pohyb popsat jako

$y_j=x_j+u_j(x_i)$

Tento vztah však v sobě zahrnuje nejen deformaci, ale také posunutí a otáčení kontinua jako celku. Pro popis deformací by však bylo vhodné získat z tohoto vztahu pouze část, která je za deformace odpovědná. Toho se dosáhne na základě předpokladu, že při deformacích dochází ke změnám vzdáleností částic kontinua.

Poměrné deformace (intenzita posunutí) ε_kl

Uvažujeme-li libovolný bod $x_j$ kontinua a v jeho okolí bod $x_j+\mathrm{d}{x}_j$, pak na konci deformačního pohybu se bod z $x_j$ přesune do bodu $y_j$ a bod $x_j+\mathrm{d}{x}_j$ do bodu $y_j+\mathrm{d}{y}_j$. Označíme-li vektor posunutí odpovídající bodu $x_j$ jako $u_j$ a vektor posunutí odpovídající bodu $x_j+\mathrm{d}{x}_j$ jako $u_j+\mathrm{d}{u}_j$, a uvažujeme-li pouze blízké okolí bodu $x_j$, můžeme použít zápis

$\mathrm{d}{y}_j=\mathrm{d}{x}_j+\mathrm{d}{u}_j=\mathrm{d}{x}_j+\left(\frac{\mathrm{d}{u}_j}{\mathrm{d}{x}_i}\right)\mathrm{d}{x}_i$

Na počátku děje je vzdálenost mezi body $x_j$ a $x_j+\mathrm{d}{x}_j$ určena jako $\sqrt{\mathrm{d}{x}_j\mathrm{d}{x}_j}$. Na konci děje je vzdálenost částic nacházejících se původně v bodech $x_j$ a $x_j+\mathrm{d}{x}_j$ určena jako $\sqrt{\mathrm{d}{y}_j\mathrm{d}{y}_j}$ (kde bylo použito Einsteinovo sumační pravidlo). K popisu deformace kontinua v okolí bodu, jehož počáteční souřadnice jsou $x_j$ a konečné $y_j$, se použije rozdíl čtverců uvedených délek, tzn. výraz

$\mathrm{d}{y}_j\mathrm{d}{y}_j-\mathrm{d}{x}_j\mathrm{d}{x}_j$

Úpravou předchozích vztahů pak dostáváme

$\mathrm{d}{y}_j\mathrm{d}{y}_j-\mathrm{d}{x}_j\mathrm{d}{x}_j=2{\epsilon }_{lk}\mathrm{d}{x}_l\mathrm{d}{x}_k$

kde byl zaveden tzv. tenzor velkých deformací

${\epsilon }_{lk}=\frac{1}{2}[\frac{\partial u_k}{\partial x_l}+\frac{\partial u_l}{\partial x_k}+\left(\frac{\partial u_j}{\partial x_l}\right)\left(\frac{\partial u_j}{\partial x_k}\right)]$

Tenzor velkých deformací je funkcí souřadnic, tzn. ${\epsilon }_{lk}={\epsilon }_{lk}(x_i)$, a je to symetrický tenzor druhého řádu, který má fyzikální rozměr 1 (bezrozměrná veličina).

Tenzor malých deformací

Jsou-li deformace malé, jsou malé také změny vektoru posunutí $u_i$ se souřadnicemi $x_j$, tzn. jsou malé také parciální derivace $\frac{\partial u_i}{\partial x_j}$. V takovém případě je v tenzoru velkých deformací člen $\left(\frac{\partial u_j}{\partial x_l}\right)\left(\frac{\partial u_j}{\partial x_k}\right)$ malý ve srovnání s členy $\frac{\partial u_k}{\partial x_l}$ a $\frac{\partial u_l}{\partial x_k}$ a můžeme jej zanedbat. V takovém případě lze deformaci popsat tzv. tenzorem malých deformací

$e_{lk}=\frac{1}{2}(\frac{\partial u_k}{\partial x_l}+\frac{\partial u_l}{\partial x_k})$

Pro malé deformace tedy platí

$\mathrm{d}{y}_j\mathrm{d}{y}_j-\mathrm{d}{x}_j\mathrm{d}{x}_j=2e_{lk}\mathrm{d}{x}_l\mathrm{d}{x}_k$

Vyjdeme-li z deformovaného stavu, lze tenzor malých deformací zavést vztahem

${\bar{e}}_{lk}=\frac{1}{2}(\frac{\partial u_k}{\partial y_l}+\frac{\partial u_l}{\partial y_k})$

a platí

$\mathrm{d}{y}_j\mathrm{d}{y}_j-\mathrm{d}{x}_j\mathrm{d}{x}_j=2{\bar{e}}_{lk}\mathrm{d}{y}_l\mathrm{d}{y}_k$

Pro malé deformace jsou velikosti posunů $\mathrm{d}{x}_i$ v nedeformovaném stavu a jim odpovídající $\mathrm{d}{y}_j$ v deformovaném stavu přibližně stejné a není tedy nutno rozlišovat mezi tenzory malých deformací v nedeformovaném a deformovaném stavu, což znamená, že tenzory malých deformací $e_{ij}$ a ${\bar{e}}_{ij}$ můžeme považovat za ekvivalentní.

Často se používá rozklad tenzoru $e_{ij}$ na izotropní část a deviátor

$e_{ij}=\frac{e_I{\delta }_{ij}}{3}+(e_{ij}-\frac{e_I{\delta }_{ij}}{3})$,

kde $e_I$ je stopa tenzoru malých deformací a ${\delta }_{ij}$ je Kroneckerovo delta. Označuje se

$e_{ij}^{(s)}=\frac{e_I{\delta }_{ij}}{3}$

jako izotropní část a

$e_{ij}^{(d)}=e_{ij}-\frac{e_I{\delta }_{ij}}{3}$

jako deviátor deformací.

Význam složek tenzoru malých deformací

Význam diagonálních složek tenzoru $e_{ij}$ lze určit následující úvahou.

Výraz $\mathrm{d}{x}_1\mathrm{d}{x}_1$ je čtverec délky zvoleného elementu látky před deformací. Použijeme pro něj označení $l_0^2$. Podobně pro výraz $\mathrm{d}{y}_i\mathrm{d}{y}_i$, který označuje čtverec délky zvoleného elementu po deformaci, použijeme označení $l^2$. Potom platí

$\frac{l^2-l_0^2}{l_0^2}=2e_{11}$

Pro malé deformace je $l_0\dot{=}l$, takže lze levou stranu pomocí přibližného vztahu $\frac{l^2-l_0^2}{l_0^2}=\frac{(l-l_0)(l+l_0)}{l_0^2}\dot{=}\frac{(l-l_0)2l_0}{l_0^2}=2\frac{l-l_0}{l_0}$, čímž získáme

$e_{11}\dot{=}\frac{l-l_0}{l_0}$

Složka tenzoru $e_{11}$ malých deformací tedy odpovídá relativní změně délky elementu, který byl původně rovnoběžný s osou $x_1$ kartézské soustavy souřadnic. Podobně složky $e_{22}$ a $e_{33}$ přestavují relativní změny délek elementů, které byly původně rovnoběžné s osami $x_2$ a $x_3$.

Pro určení významu nediagonálních složek lze vyjít z rovinné deformace v rovině dané kartézskými osami $x_1,x_2$. Tenzor malých deformací má v takovém případě nenulové pouze složky $e_{11},e_{22},e_{12}=e_{21}$. Uvažujeme-li deformaci, při které jsou nenulové pouze složky se smíšenými indexy, tzn. $e_{11}=e_{22}=0,e_{12}\ne 0$, pak element, který byl před deformací rovnoběžný s osou $x_1$, tzn. lze jej před deformací popsat vektorem $(\mathrm{d}{x}_1,0)$, lze po deformaci popsat vektorem $(\mathrm{d}{x}_1,\frac{\partial u_2}{\partial x_1}\mathrm{d}{x}_1)$, kde $u_2$ je složka vektoru posunutí podél osy $x_2$. Pro úhel ${\alpha }_1$ mezi vektory $(\mathrm{d}{x}_1,0)$ a $(\mathrm{d}{x}_1,\frac{\partial u_2}{\partial x_1}\mathrm{d}{x}_1)$ platí

$\mathrm{tg}{\alpha }_1=\frac{\partial u_2}{\partial x_1}$

Podobně lze pro element, který byl před deformací rovnoběžný s osou $x_2$, který je možné před deformací popsat vektorem $(0,\mathrm{d}{x}_2)$, určit složky tohoto elementu po deformaci jako $(\frac{\partial u_1}{\partial x_2}\mathrm{d}{x}_2,\mathrm{d}{x}_2)$. Pro úhel ${\alpha }_2$ mezi vektory $(0,\mathrm{d}{x}_2)$ a $(\frac{\partial u_1}{\partial x_2}\mathrm{d}{x}_2,\mathrm{d}{x}_2)$ platí

$\mathrm{tg}{\alpha }_2=\frac{\partial u_1}{\partial x_2}$

Pro malé deformace lze použít aproximaci $\mathrm{tg}{\alpha }_i\approx {\alpha }_i$, což umožňuje psát

$2e_{12}=\frac{\partial u_2}{\partial x_1}+\frac{\partial u_1}{\partial x_2}={\alpha }_1+{\alpha }_2$

Smíšená složka tenzoru deformace $e_{12}$ tedy odpovídá polovině úhlu ${\alpha }_1+{\alpha }_2$, o který se při deformaci změní pravý úhel mezi elementy původně rovnoběžnými s kartézskými osami $x_1$ a $x_2$. Úhel ${\alpha }_1+{\alpha }_2$ se nazývá úhel smyku.

V obecném případě, kdy nejde o rovinnou deformaci, mohou mít elementy původně rovnoběžné s první nebo druhou kartézskou osou po deformaci také složky ve směru třetí osy. Tyto složky jsou však tak malé, že nemají podstatný vliv na úhel mezi elementy po deformaci. Složka $e_{12}$ má tedy i v takovém případě stejný význam jako v případě rovinné deformace.

Obdobným způsobem lze položit složku $e_{13}$ rovnu polovičnímu úhlu smyku mezi první a třetí souřadnicovou osou a složku $e_{23}$ rovnu polovičnímu úhlu smyku mezi druhou a třetí souřadnicovou osou.

Objemová a tvarová deformace

Uvažujme v diferenciálním okolí bodu, ve kterém známe složky $e_{ij}$, kvádr, jehož hrany mají před deformací délky $l_{01},l_{02},l_{03}$, přičemž tyto hrany jsou rovnoběžné se směry hlavních os deformace. Daný kvádr zůstane kvádrem i po deformaci (za předpokladu malých deformací), pouze dojde ke změně délek jeho hran na $l_1,l_2,l_3$. Při vhodné volbě souřadnicové soustavy, tzn. osy souřadnicové soustavy leží ve směru hlavních os deformace (na jednotlivé stěny kvádru tedy působí pouze čistý tah nebo čistý tlak), platí

$\frac{l_i-l_{0i}}{l_{0i}}=e_{ii}$

pro $i=1,2,3$.

Po deformaci lze tedy délky hran vyjádřit jako $l_i=l_{0i}+l_{0i}{e}_{ii}$. Pro objem kvádru po deformaci pak při zanedbání veličin vyšších řádů dostáváme

$V=l_1{l}_2{l}_3=(l_{01}+l_{01}{e}_{11})(l_{02}+l_{02}{e}_{22})(l_{03}+l_{03}{e}_{33})=l_{01}{l}_{02}{l}_{03}+l_{01}{l}_{02}{l}_{03}(e_{11}+e_{22}+e_{33})=V_0+V_0{e}_I$

což bývá obvykle zapisováno jako

$e_I=\frac{V-V_0}{V_0}$,

kde $V_0$ je objem tělesa před deformací a $V$ je objem tělesa po deformaci. Stopa $e_I$ tedy popisuje relativní objemovou změnu, tedy objemovou deformaci. Vzhledem k tomu, že stopa izotropní části $e_{ij}$ je stejná jako stopa celého tenzoru $e_{ij}$, odpovídá objemová deformace izotropní části objemové deformaci celého tenzoru deformací. Stopa deviátoru $\mathrm{Tr}{e}^{(d)}$ je nulová, tzn. relativní objemová změna odpovídající deviátoru tenzoru malých deformací je také nulová. Deviátor tedy nezpůsobuje změny objemové, ale pouze změny tvaru, tedy tvarovou deformaci.

Související články

• Rotace
• Translace
• Topologické zobrazení
• Rovnice kompatibility deformací
• Rychlost deformace
• Deformační metoda

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat