Korektně definovaný

Korektně definovaný výraz je v matematice takový výraz, jemuž definice přiřazuje jedinečnou interpretaci nebo hodnotu. V opačném případě se říká, že výraz není korektně definovaný, je špatně definovaný nebo nejednoznačný.^[1] Zobrazení nebo funkce jsou korektně definované, pokud dávají stejný výsledek, když se změní reprezentace vstupu bez změny hodnoty vstupu. Pokud například parametrem funkce $f$ je reálné číslo, a, pokud $f (0.5)$ není rovno $f (1 / 2)$ pak $f$ není korektně definované (a proto to není funkce).^[2] Termín korektně definovaný se může také používat pro vyjádření, že logický výraz je jednoznačný a není kontradikcí.

Funkce, která není korektně definovaná, není totéž jako funkce, která je nedefinovaná. Pokud například $f (x) = \frac{1}{x}$ , pak přestože $f (0)$ není definováno, neznamená to, že funkce není definovaná korektně; pouze to znamená, že 0 není v definičním oboru funkce $f$ .

Příklad

Nechť $A_{0}, A_{1}$ jsou množiny a $A = A_{0} \cup A_{1}$ . „Definujme“ $f : A \to {0, 1}$ jako $f (a) = 0,$ pokud $a \in A_{0}$ a $f (a) = 1,$ pokud $a \in A_{1}$ .

Funkce $f$ je korektně definovaná, pokud $A_{0} \cap A_{1} = \emptyset$ . Pokud například $A_{0} : = {2, 4}$ a $A_{1} : = {3, 5}$ , pak je $f (a)$ definována korektně a rovna $\mod (a, 2)$ .

Pokud by však $A_{0} \cap A_{1} \neq \emptyset$ , pak $f$ by nebyla korektně definovaná, protože pro $a \in A_{0} \cap A_{1}$ je $f (a)$ „nejednoznačné“. Pokud například $A_{0} : = {2}$ a $A_{1} : = {2}$ , pak by $f (2)$ muselo být 0 i 1, což ji činí nejednoznačnou. V důsledku toho funkce $f$ není korektně definovaná a tedy to není funkce.

“Definice“ jako anticipace definice

Pro odstranění uvozovek okolo „Definujme“ v předchozím jednoduchém příkladě, je možné „definici“ $f$ rozdělit na dva logické kroky: Šablona:Ol Zatímco definice v kroku 1 je formulována s volností jakékoli definice a je určitě platná (bez potřeby ji klasifikovat jako „korektně definovanou“), tvrzení v kroku 2 je třeba dokázat. Tj. $f$ je funkce právě tehdy, když $A_{0} \cap A_{1} = \emptyset$ , a v tomto případě je $f$ korektně definovaná jako funkce.

Pokud by naopak množiny $A_{0}$ a $A_{1}$ nebyly disjunktní: $A_{0} \cap A_{1} \neq \emptyset$ , pak pro $a \in A_{0} \cap A_{1}$ , bychom dostali, že $(a, 0) \in f$ a zároveň $(a, 1) \in f$ , takže binární relace $f$ není zobrazením a tedy není korektně definovaná jako funkce. Hovorově se „funkce“ $f$ také nazývá nejednoznačnou v bodě $a$ (i když podle definice žádná „nejednoznačná funkce“ neexistuje), a původní „definice“ je nesmyslná.

Bez ohledu na tyto nepatrné logické problémy, je zcela běžné používat pro „definice“ tohoto druhu název definice (bez apostrofů), ze tří důvodů:

Poskytuje praktickou zkratku dvoustupňového přístupu.
Matematické vyvozování (tj. krok 2) je v obou případech stejné.
V matematických textech je tvrzení „na 100%“ pravdivé.

Nezávislost na výběru reprezentanta

Pochybnosti o korektnosti definice funkce se často objevují, když se definice neodkazuje na samotné argumenty, ale na jejich prvky, které slouží jako reprezentanti. To bývá nevyhnutelné, když argumenty jsou třídy rozkladu, a když jsou v definici použiti reprezentanti tříd. Hodnota funkce nesmí záviset na výběru reprezentanta.

Funkce s jedním argumentem

Uvažujme například funkci:

\begin{matrix} f : & ℤ / 8 ℤ & \to & ℤ / 4 ℤ \\ {\overline{n}}_{8} & \mapsto & {\overline{n}}_{4}, \end{matrix}

kde $n \in ℤ, m \in {4, 8}$ a $ℤ / m ℤ$ jsou celá čísla modulo m a ${\overline{n}}_{m}$ označuje shodnost tříd n mod m.

Poznámka: ${\overline{n}}_{4}$ je odkaz na prvek $n \in {\overline{n}}_{8}$ , a ${\overline{n}}_{8}$ je argument funkce $f$ .

Funkce $f$ je korektně definovaná, protože:

n \equiv n^{'} mod 8 \Leftrightarrow 8 divides (n - n^{'}) \Rightarrow 4 divides (n - n^{'}) \Leftrightarrow n \equiv n^{'} mod 4 .

Protipříkladem je opačná definice:

\begin{matrix} g : & ℤ / 4 ℤ & \to & ℤ / 8 ℤ \\ {\overline{n}}_{4} & \mapsto & {\overline{n}}_{8}, \end{matrix}

která nevede k korektně definované funkci, protože například ${\overline{1}}_{4}$ se v $ℤ / 4 ℤ$ rovná ${\overline{5}}_{4}$ , ale ${\overline{1}}_{4}$ by funkce $g$ zobrazila na ${\overline{1}}_{8}$ , zatímco ${\overline{5}}_{4}$ by bylo zobrazeno na ${\overline{5}}_{8}$ , ale ${\overline{1}}_{8}$ a ${\overline{5}}_{8}$ nejsou v $ℤ / 8 ℤ$ stejné.

Operace

To, že je definice korektní se často prověřuje pro (binární) operace nad třídami ekvivalence. V tomto případě lze na operaci pohlížet jako na funkci dvou proměnných, a vlastnost být korektně definovaná je stejná jako v případě funkce. Například sčítání na množině celých čísel modulo nějaké n lze přirozeně definovat pomocí běžného sčítání celých čísel:

[a] \oplus [b] = [a + b]

Skutečnost, že tato operace je korektně definovaná, vyplývá z toho, že libovolného reprezentanta $[a]$ můžeme zapsat jako $a + k n$ , kde $k$ je celé číslo. Proto

[a] \oplus [b] = [a + k n] \oplus [b] = [(a + k n) + b] = [(a + b) + k n] = [a + b];

Totéž platí pro libovolného reprezentanta $[b]$ , díky čemuž je $[a + b]$ stejné, bez ohledu na výběr reprezentanta.

Korektně definovaný zápis

Pro reálná čísla je součin $a \times b \times c$ jednoznačný, protože $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$ ; tedy řekneme, že zápis je korektně definovaný.^[1] Tuto vlastnost, známou jako asociativita násobení, zaručuje výsledek nezávisí na pořadí násobení; proto, specifikace posloupnosti lze vynechat. Odčítání operace je neasociativní; bez ohledu na that, existuje konvence, že $a - b - c$ je zkratka za $(a - b) - c$ , tedy je považovány za „korektně definovaný“. Na druhou stranu, dělení je neasociativní, a v případě výrazu $a / b / c$ , nejsou konvence závorkování korektně určeny; proto je tento výraz často považován za chybně definovaný.

Na rozdíl funkcí lze nejednoznačnosti zápisu často překonat doplňující definicí (např. pravidly priority nebo stanovením asociativity operátoru). Například v programovacím jazyce C, operátor - pro odčítání je asociativní zleva doprava, což znamená, že a-b-c je definovaný jako (a-b)-c, a operátor = pro přiřazení je asociativní zprava doleva, což znamená, že a=b=c je definovaný jako a=(b=c).^[3] V programovacím jazyce APL existuje pouze jedno pravidlo: z zprava doleva – ale závorky poprvé.

Jiná použití

Českému korektně definovaný odpovídá v angličtině obrat well-defined, který má v angličtině i další význam: O řešení parciální diferenciální rovnice řekneme, že je dobře definované, pokud je spojitě určeno okrajovými podmínkami.^[1]

Odkazy

Poznámky

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 Šablona:Citace elektronické monografie
↑ Joseph J. Rotman, The Theory of Groups: an Introduction, p. 287 "... a funkce musí mít "jedinou hodnotu," nebo, jak častěji říkáme, ... funkce je korektně definovaná.", Allyn and Bacon, 1965.
↑ Šablona:Citace elektronické monografie

Reference

Šablona:Překlad

Literatura

Související články

Šablona:Autoritní data

[MathWorld-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 Šablona:Citace elektronické monografie

[2] Joseph J. Rotman, The Theory of Groups: an Introduction, p. 287 "... a funkce musí mít "jedinou hodnotu," nebo, jak častěji říkáme, ... funkce je korektně definovaná.", Allyn and Bacon, 1965.

[3] Šablona:Citace elektronické monografie

[1]

[2]

[3]

Korektně definovaný

Obsah

Příklad

“Definice“ jako anticipace definice

Nezávislost na výběru reprezentanta

Funkce s jedním argumentem

Operace

Korektně definovaný zápis

Jiná použití

Odkazy

Poznámky

Reference

Literatura

Související články

Navigační menu

Korektně definovaný

Příklad

“Definice“ jako anticipace definice

Nezávislost na výběru reprezentanta

Funkce s jedním argumentem

Operace

Korektně definovaný zápis

Jiná použití

Odkazy

Poznámky

Reference

Literatura

Související články

Navigační menu

Hledat