Tropický polookruh

Tropický polookruh je v idempotentní analýze polookruh rozšířených reálných čísel s operacemi minima (nebo maxima) a sčítání, které nahrazují obvyklé („klasické“) operace sčítání a násobení.

Tropický polookruh má různé aplikace (viz tropická analýza), a tvoří základ tropické geometrie. Přívlastek tropický je odkazem na informatika maďarského původu Imre Simona, který zvolil toto pojmenování, protože žil a pracoval v Brazílii.

Definice

Tropický polookruh s minimem (též polookruh min-plus nebo algebra min-plus) je polookruh (ℝ ∪ {+∞}, ⊕, ⊗) s operacemi

$x\oplus y=\min \{x,y\},$

$x\otimes y=x+y.$

Operace ⊕ se nazývá tropické sčítání, operace ⊗ tropické násobení. Jednotkový prvek pro ⊕ je +∞, jednotkový prvek pro ⊗ je 0.

Podobně tropický polookruh s maximem (též polookruh max-plus nebo algebra max-plus) je polookruh (ℝ ∪ {−∞}, ⊕, ⊗) s operacemi

$x\oplus y=\max \{x,y\},$

$x\otimes y=x+y.$

Jednotkový prvek pro ⊕ je −∞, a jednotkový prvek pro ⊗ je 0.

Oba polookruhy jsou vzájemně izomorfní; izomorfismem mezi nimi je negace (obrácení znaménka) $x\mapsto -x$. Proto lze pracovat jen s jedním z nich a mluvit o něm jednoduše jako o tropickém polookruhu. Různí autoři často v závislosti na oboru použití používají buď tropický polookruh s operací min nebo s operací max.

Tropické sčítání je idempotentní, díky čemuž je tropický polookruh příkladem idempotentního polookruhu.

Tropický polookruh se také nazývá tropická algebra, nesmí se však zaměňovat s asociativní algebrou nad tropickým polookruhem.

Tropické umocňování je definováno obvyklým způsobem jako opakovaný tropický součin (viz umocňování).

Komutativní tělesa s valuací

Operace tropického polookruhu modelují, jak se chovají valuace při sčítání a násobení v komutativním tělese s valuací. Komutativní těleso K reálných čísel s valuací je komutativní těleso opatřené funkcí

$v:K\to ℝ\cup \{\mathrm{\infty }\}$

které splňuje následující vlastnosti pro všechna a, b v K:

$v(a)=\mathrm{\infty }$ právě tehdy, když $a=0,$

$v(ab)=v(a)+v(b)=v(a)\otimes v(b),$

$v(a+b)\ge \min \{v(a),v(b)\}=v(a)\oplus v(b),$ s rovností pokud $v(a)\ne v(b).$

Valuace v je proto „téměř“ polookruhovým homomorfismem z K do tropického polookruhu, až na to, že vlastnost homomorfismu může selhat, když se sčítají dva prvky se stejnou valuací.

Příklady komutativních těles s valuací:

• Q nebo C s triviální valuací, v(a) = 0 pro všechna a ≠ 0,
• Q nebo nějaké jeho rozšíření s p-adickou valuací, v(pⁿa/b) = n kde a a b jsou relativní prvočísla s p,
• komutativní těleso formálních Laurentových řad K((t)) (celočíselných mocnin) nebo komutativní těleso Puiseuxovy řady K{{t}} nebo komutativní těleso Hahnovy řady s valuací vracející nejmenší exponent t, který se v řadě objevuje.

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie