Funkce beth

Funkce Beth pojmenovaná po druhém písmenu hebrejské abecedy zapisovaná rovněž jako $\beth$ je jedním ze způsobů zápisu určitých nekonečných kardinálních čísel v teorii množin.

Definice

Funkce Beth přiřazuje každému ordinálnímu číslu $\alpha$ následujícím rekurzivním způsobem kardinální číslo ${\beth }_{\alpha }$:

• ${\beth }_0={\mathrm{\aleph }}_0$, kde ${\mathrm{\aleph }}_0$ je nejmenší nekonečný kardinál, viz Funkce alef.
• ${\beth }_{\alpha +1}=2^{{\beth }_{\alpha }}$ pro izolovaný ordinál $\alpha +1$ (tj. mohutnost potenční množiny ${\beth }_{\alpha }$).
• ${\beth }_{\lambda }=\underset{\alpha <\lambda }{\sup }{\beth }_{\alpha }$ pro limitní ordinál $\lambda$.

Vztah k hypotézám kontinua

• Hypotéza kontinua je ekvivalentní s ${\mathrm{\aleph }}_1={\beth }_1$, tedy ${\beth }_1$ je mohutností potenční množiny spočetné množiny a tudíž rovna mohutnosti kontinua $ℝ$.
• Zobecněná hypotéza kontinua je ekvivalentní s $\mathrm{\aleph }=\beth$, tedy ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }={\beth }_{\alpha }$ pro všechna ordinální čísla $\alpha$.

Vztah k limitním a nedosažitelným kardinálům

Limitní kardinál $\kappa$ se nazývá silně limitním, jestliže ${\mu }^{\lambda }<\kappa$ pro všechny kardinály $\lambda ,\mu <\kappa$.

• Kardinál $\kappa$ je silně limitní, právě když $\kappa ={\beth }_{\xi }$ pro limitní ordinál $\xi$.

Platí $\alpha \le {\mathrm{\aleph }}_{\alpha }\le {\beth }_{\alpha }$ pro všechna ordinální čísla $\alpha$. Lze ukázat, že funkce $\beth$ má pevné body, tj. takové ordinály $\alpha$, pro než $\alpha ={\beth }_{\alpha }$.

• Nejmenším pevným bodem je přitom limita posloupnosti ${\beth }_0,{\beth }_{{\beth }_0},{\beth }_{{\beth }_{{\beth }_0}},\dots$, tedy neformálně ${\beth }_{{\beth }_{{}_{\ddots }}}$.
• Zrovna tak jsou (silně) nedosažitelné kardinály pevnými body funkce $\beth$.

Odkazy

Související články

• Funkce alef
• Funkce gimel

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat