Obor hodnot

Funkce $f$ zobrazuje množinu $X$ do množiny $Y$. Definiční obor značen červeně, obor hodnot žlutě.

Obor hodnot zobrazení $T:X\to Y$ z množiny $X$ do množiny $Y$ je množina všech hodnot množiny $Y$, kterých zobrazení $T$ nabývá. Obecně nemusí být zobrazení $T$ projektováno na celou množinu $Y$, v tom případě tvoří jeho obor hodnot podmnožinu množiny $Y$. Obor hodnot funkce $f$ je množina všech hodnot, kterých funkce $f$ nabývá.

Definice

V matematické notaci lze obor hodnot pro zobrazení $T:X\to Y$ zapsat následovně:

$R_T=\{y\in Y|(\mathrm{\exists }x\in X)(T(x)=y)\}$.

Obor hodnot zobrazení $T$ resp. funkce $f$ se značí $R_T=R(T)$ resp. $R_f=R(f)$. Pro definiční obor se v zahraniční literatuře používá označení doména, pro obor hodnot pak označení kodoména.

Příklad

• Oborem hodnot nemusí být jen čísla, lze sestrojit zobrazení, které vezme číslo a vrátí zobrazení. Uvažujme množinu $𝒞$ reálných spojitých funkcí reálné proměnné, tj. funkcí $f:ℝ\to ℝ$ a zobrazení $T:ℝ\to 𝒞$, které vezme číslo $a\in ℝ$ a vrátí zobrazení $f(x)=\exp (ax)$. Hodnotou zobrazení $T$ je tedy opět nějaké zobrazení $f$, které zobrazuje reálná čísla na kladná reálná čísla, tj. $f:ℝ\to {ℝ}^{+}$.

• Ve funkcionální analýze se zavádí pojem esenciálního oboru hodnot. Pokud je na množině $M$ daná míra $\mu$ a $f$ je nějaká komplexní funkce definovaná na $M$, tj. $f:M\to ℂ$, pak esenciálním oborem hodnot funkce $f$ rozumíme množinu $R_{\text{ess}}(f)=\{\lambda \in ℂ|(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mu (M_{ϵ}(\lambda ))>0)\}$, kde $M_{ϵ}(\lambda )=\{x\in M||f(x)-\lambda |<ϵ\}$.

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie

• Šablona:Citace monografie

Související články

• Definiční obor
• Zobrazení (matematika)