Racionální číslo

Racionální číslo je číslo, které lze vyjádřit jako zlomek, tedy podíl celého čísla a přirozeného čísla (ne nuly), zapsaný např. ve tvaru $\frac{a}{b}$ nebo a/b, kde b není nula. Název pochází z latinského ratio – poměr. Množina všech racionálních čísel se značí Q nebo $\mathbb{Q}$, z latinského quotient – podíl. Reálné číslo, které není racionální, se nazývá iracionální číslo, jsou to například $\sqrt{2}$ nebo $\pi$. Desetinný rozvoj racionálního čísla je periodický. V případě konečného rozvoje – desetinného čísla – tvoří periodu nuly.

U zlomku $\frac{a}{b}$ se číslo a označuje jako čitatel, číslo b jako jmenovatel (neboť určuje jméno zlomku: 1/2 je jedna polovina, 1/3 je jedna třetina, 1/4 je jedna čtvrtina atd.). Každé racionální číslo lze vyjádřit nekonečně mnoha zlomky, např. 1/2=2/4=3/6=... . Nejjednodušší je tvar, ve kterém a a b jsou nesoudělná čísla a b je kladné. Každé racionální číslo tento základní tvar má a je dán jednoznačně.

Vlastnosti

Množina racionálních čísel $\mathbb{Q}$ společně s operacemi sčítání a násobení tvoří komutativní těleso. Je to podílové těleso oboru celých čísel, tedy nejmenší těleso, které obsahuje všechna celá čísla.

Množina $\mathbb{Q}$ je spočetná; jelikož množina všech reálných čísel je nespočetná, jsou skoro všechna reálná čísla iracionální (ve smyslu Lebesgueovy míry). Racionální čísla však tvoří hustou podmnožinu množiny reálných čísel $ℝ$ – ke každému reálnému číslu lze libovolně blízko najít racionální číslo, to jest každé reálné číslo lze s libovolnou přesností nahradit racionálním číslem.

Počítání se zlomky

Zlomky lze sčítat a násobit:

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$

$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$

Dva zlomky $\frac{a}{b}$ a $\frac{c}{d}$ vyjadřují stejné racionální číslo tehdy a jen tehdy, když $ad=bc$. Ke každému racionálnímu číslu existuje číslo opačné a ke každému nenulovému i převrácené:

$-\left(\frac{a}{b}\right)=\frac{-a}{b}$ pokud $b\ne 0$

${\left(\frac{a}{b}\right)}^{-1}=\frac{b}{a}$ pokud $a\ne 0$ a zároveň $b\ne 0$

Odkazy

Související články

• Celé číslo
• Zlomek
• Desetinné číslo
• Reálné číslo

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat