Disjunktivní normální forma

Ve výrokové logice je formule v disjunktivní normální formě (DNF), pokud je ve tvaru disjunkcí P-termů, kde P-term definujeme jako konjunkce literálů (a je-li $x$ výroková proměnná, tak jí určené literály jsou právě $x$ a $\mathrm{\neg }x$).

Každá konjunkce literálů a také každá disjunkce literálů je DNF, protože je můžeme považovat za disjunkci P-termů s jedním literálem, resp. za konjunkci jednoho P-termu. Podobně jako v konjunktivní normální formě (KNF), jediné logické spojky v DNF jsou logická spojka a, nebo a negace. Negace může být pouze součástí literálu, tzn. že negovat lze pouze výrokovou proměnnou.

Platí, že pro každou formuli A lze sestrojit ekvivalentní formule K a D (tedy $⊢$ A ↔ K a $⊢$ A ↔ D), kde K je v KNF a D je v DNF. Toto tvrzení lze dokázat indukcí podle složitosti formule užitím De Morganových zákonů a distributivity.

Příklady

Příklady formulí, které jsou v DNF:

$\mathrm{\neg }A\vee (B\wedge C)$ (negace smí stát jen před výrokovou proměnnou)

$(A\wedge B)\vee (\mathrm{\neg }B\wedge C\wedge \mathrm{\neg }D)\vee (D\wedge \mathrm{\neg }E)$

$A\vee B$ (tato formule je zároveň i v KNF)

$A\wedge B$ (tato formule je zároveň i v KNF)

Příklady formulí, které nejsou v DNF:

$\mathrm{\neg }(B\wedge C)$

$(A\vee B)\wedge C$

$A\vee (B\wedge (D\vee E))$

Výše uvedené formule lze ovšem do DNF převést, tedy sestrojit k nim ekvivalentní formule, které jsou v DNF:

$\mathrm{\neg }B\vee \mathrm{\neg }C$

$(A\wedge C)\vee (B\wedge C)$

$A\vee (B\wedge D)\vee (B\wedge E)$

Související články

• Konjunktivní normální forma
• Logika