Diferenciál (matematika)

Diferenciál v matematice vyjadřuje závislost změny hodnoty funkce na malé změně jejího argumentu. Tuto závislost aproximuje u reálné funkce jedné proměnné jako přímou úměrnost v okolí zvoleného bodu. Pro funkce více proměnných se používá totální diferenciál, který přírůstek funkční hodnoty nahrazuje lineární funkcí. Diferenciály se hojně využívají např. ve fyzice nebo při práci s diferenciálními rovnicemi.

Diferenciál $\mathrm{d}y$ funkce $y=f(x)$ v bodě $x$ při změně argumentu $\mathrm{d}x$ je součin

$\mathrm{d}y=f^{\prime }(x)\mathrm{d}x$,

kde $f^{\prime }(x)$ je derivace funkce $f$ v bodě $x$, přičemž pro existenci diferenciálu je nutná (a postačující) existence této derivace.

Použití k aproximaci funkce

S použitím diferenciálu lze hodnotu funkce $y=f(x)$ v okolí bodu $x$ vyjádřit vztahem

$f(x+\mathrm{d}x)=y+\mathrm{d}y+\epsilon$,

kde

$y=f(x)$ je hodnota funkce $f$ v bodě $x$,

$\mathrm{d}y=f^{\prime }(x)\mathrm{d}x$ je diferenciál funkce $f$ v bodě $x$ při změně argumentu $\mathrm{d}x$,

$\epsilon$ je chyba aproximace, která je pro malé $\mathrm{d}x$ velmi malá:

$\underset{\mathrm{d}x\to 0}{\lim }\epsilon =0$

Související články

• Totální diferenciál
• Lineární aproximace
• Infinitezimál