Jacobiho matice (třídiagonální)

Šablona:Možná hledáte Jacobiho matice je reálná symetrická třídiagonální matice s kladnými prvky na horní a dolní sekundární diagonále.

Definice

Reálnou čtvercovou matici řádu $k$ ve tvaru

$𝑱=\left(\begin{array}{ccccc}{\alpha }_1& {\beta }_2& & & \\ {\beta }_2& {\alpha }_2& {\beta }_3& & \\ & {\beta }_3& \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & \ddots & {\beta }_k\\ & & & {\beta }_k& {\alpha }_k\end{array}\right),{\beta }_i>0,i=2,\dots ,k,$

nazýváme Jacobiho maticí. Speciálním (triviálním) případem je Jacobiho matice $𝑱=({\alpha }_1)$, $k=1$. Jacobiho matice mají řadu specifických vlastností.

Spektrální vlastnosti

Vlastní čísla

Vlastní čísla Jacobiho matic mají násobnost jedna. Stačí si uvědomit, že pro libovolné číslo $\lambda$ jsou druhý až poslední řádek v matici ${𝑱}_k-\lambda 𝐈$ lineárně nezávislé:

$\left(\begin{array}{ccccc}{\beta }_2& {\alpha }_2-\lambda & {\beta }_3& & \\ & {\beta }_3& \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & \ddots & {\beta }_k\\ & & & {\beta }_k& {\alpha }_k-\lambda \end{array}\right)$

Odtud plyne, že $\mathrm{rank}(𝑱-\lambda 𝐈)\ge k-1$. Protože matice je symetrická, odpovídá její hodnost počtu nenulových vlastních čísel (včetně násobností). Každé vlastní číslo $\lambda$ má tudíž násobnost jedna.

Protože matice je symetrická, vlastní čísla jsou navíc reálná a můžeme je seřadit

${\lambda }_1(𝑱)<{\lambda }_2(𝑱)<\cdots <{\lambda }_k(𝑱).$

Označíme-li ${𝑱}^{\prime }$ vedoucí hlavní podmatici matice $𝑱$ řádu $k-1$, neboli

$𝑱=\left(\begin{array}{cc}{𝑱}^{\prime }& \begin{array}{c}0\\ ⋮\\ 0\\ {\beta }_k\end{array}\\ \begin{array}{cccc}0& \cdots & 0& {\beta }_k\end{array}& {\alpha }_k\end{array}\right)$,

pak ${𝑱}^{\prime }$ je také Jacobiho matice. Vlastní čísla těchto dvou „po sobě jdoucích“ Jacobiho matic $𝑱$ a ${𝑱}^{\prime }$ se striktně prokládají

${\lambda }_1(𝑱)<{\lambda }_1({𝑱}^{\prime })<{\lambda }_2(𝑱)<{\lambda }_2({𝑱}^{\prime })<\cdots <{\lambda }_{k-1}({𝑱}^{\prime })<{\lambda }_k(𝑱)$.

Charakteristické polynomy dvou po sobě jdoucích Jacobiho matic nemají žádný společný kořen. To lze dokázat sporem; rozvojem determinantu $\det ({𝑱}_k-\lambda 𝐈)$ podle posledního řádku a indukcí podle rozměru matice.

Mimo jiné také platí, že Jacobiho matice $𝑱$ a ${𝑱}^{\prime }$nemohou být obě singulární.

Vlastní vektory

Jsou-li $\lambda ,𝒗$ vlastní číslo a jemu příslušný vlastní vektor Jacobiho matice $𝑱$, kde

$𝒗=(v_1,v_2,v_3,\dots ,v_k{)}^{\mathrm{T}},\Vert 𝒗\Vert \ne 0,$

pak

• první prvek vlastního vektoru je nenulový, $v_1\ne 0$,
• poslední prvek vlastního vektoru je nenulový, $v_k\ne 0$,
• libovolný dvouprvkový podvektor $(v_{\ell },v_{\ell +1})$, $\ell =1,\dots ,k-1$, je nenulový.

Všechna tři tvrzení lze dokázat sporem, prostým porovnáním prvků vektorů na obou stranách rovnosti

$\left(\begin{array}{ccccc}{\alpha }_1& {\beta }_2& & & \\ {\beta }_2& {\alpha }_2& {\beta }_3& & \\ & {\beta }_3& \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & \ddots & {\beta }_k\\ & & & {\beta }_k& {\alpha }_k\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\\ ⋮\\ v_k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\\ ⋮\\ v_k\end{array}\right)\lambda$.

Z předpokladu $v_1=0$ a porovnání prvních prvků

${\alpha }_1{v}_1+{\beta }_2{v}_2=v_1\lambda$

plyne $v_2=0$ (neboť ${\beta }_2>0$). Indukcí pak vyplývá $v_1=v_2=\dots =v_k=0$, což je ve sporu s $\Vert 𝒗\Vert \ne 0$.

Užití k výpočtu vlastních čísel symetrických a hermitovských matic

Pro každou reálnou symetrickou matici $𝑨\in {ℝ}^{k\times k}$, $𝑨={𝑨}^{\mathrm{T}}$, existuje ortogonální matice $𝑮\in {ℝ}^{k\times k}$, ${𝑮}^{-1}={𝑮}^{\mathrm{T}}$, taková, že

${𝑮𝑨𝑮}^{\mathrm{T}}={𝑱}_{\oplus },\text{kde}{𝑱}_{\oplus }=\left(\begin{array}{c}{𝑱}_1\\ & {𝑱}_2\\ & & \ddots \\ & & & {𝑱}_s\end{array}\right),{𝑱}_{\ell }\in {ℝ}^{k_{\ell }\times k_{\ell }},\sum _{\ell =1}^s{k}_{\ell }=k$

a kde ${𝑱}_{\ell }$ jsou Jacobiho matice. Matici $𝑮$ lze přitom zkonstruovat v konečném čase, tj. pomocí konečného počtu elementárních aritmetických operací (sčítání, odečítání, násobení, dělení a výpočtu druhé odmocniny).

Obdobně pro každou hermitovskou matici $𝑨\in {ℂ}^{k\times k}$, $𝑨={𝑨}^{\mathrm{H}}$, existuje unitární matice $𝑮\in {ℂ}^{k\times k}$, ${𝑮}^{-1}={𝑮}^{\mathrm{H}}$ taková, že

${𝑮𝑨𝑮}^{\mathrm{H}}={𝑱}_{\oplus }$

je stejná matice jako v předchozím případě. Speciálně je matice ${𝑱}_{\oplus }$ reálná symetrická i v případě komplexní hermitovské matice $𝑨$.

Vlastnosti matice ${𝑱}_{\oplus }$

Matice ${𝑱}_{\oplus }$ je stále třídiagonální, obecně však už není Jacobiho maticí, protože prvky bezprostředně nad diagonálou nebo bezprostředně pod ní mohou být nulové. Transformační matici $𝑮$ lze vždy zvolit tak, že

$k_1\ge k_2\ge \cdots \ge k_s\text{a}\mathrm{sp}{𝑱}_1\supseteq \mathrm{sp}{𝑱}_2\supseteq \cdots \supseteq \mathrm{sp}{𝑱}_s$,

kde $\mathrm{sp}𝑴$ značí spektrum matice $𝑴$. Jacobiho matice ${𝑱}_1$ obsahuje všechna vlastní čísla původní matice $𝑨$, přičemž každé jen jednou, jak plyne z vlastností Jacobiho matic. Číslo $s$ je dimenzí největšího vlastního podprostoru (eigenspace), tj. $s$ je největší násobností některého z vlastních čísel matice $𝑨$.

Konstrukce matice $𝑮$ v konečném čase

Význam Jacobiho matic spočívá v možnosti spočítat ortogonální, resp. unitární matice $𝑮$ v konečném čase. Přestože je diagonalizovatelnost matice $𝑨$ vždy zaručena, protože symetrické, resp. hermitovské matice jsou normální a proto ortogonálně, resp. unitárně diagonalizovatelné, tato diagonalizace však obecně není proveditelná v konečném čase. Např. už jen z toho důvodu, že vlastní čísla coby kořeny charakteristického polynomu nemusí být možné vyjádřit v radikálech pro polynomy stupně alespoň 5 (viz též základní věta algebry).

Význam třídiagonalizace lze spatřovat v provedení dílčího výpočtu při hledání vlastních čísel symetrické, resp. hermitovské matice

$𝑨⟼{𝑱}_{\oplus }⟼𝑫=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_k),$

který lze provést v přesné aritmetice v konečném čase. Následná diagonalizace třídiagonální matice ${𝑱}_{\oplus }$však obecně vyžaduje iterační algoritmus s limitní konvergencí, typicky některou z variant QR algoritmu.

Matice $𝑮$ a ${𝑱}_{\oplus }$ lze zkonstruovat např. pomocí dobře známého Lanczosova algoritmu (Lanczosovy tridiagonalizace).

Souvislosti

Jacobiho matice hrají klíčovou v řadě teoretických i praktických aplikací

• řetězově zlomky,
• ortogonální polynomy,
• Gaussova kvadratura,
• Lanczosův algoritmus,
• (částečný) problém vlastních čísel (symetrických matic),
• metoda sdružených gradientů.

Literatura

• Šablona:Citace monografie