Kramersovy–Kronigovy relace

Kramersovy–Kronigovy relace umožňují spočítat reálnou část odezvy lineárního pasivního systému, známe-li imaginární části odezvy při všech frekvencích (nebo naopak určit imaginární část ze znalosti části reálné). Při analýze optických konstant hrají důležitou roli a jsou hojně využívány, protože platí např. pro elektrickou vodivost σ (vystupující v ohmově zákoně j(ω)=σ(ω)E(ω). Abychom mohli Kramers–Kronigovu analýzu provést, musí funkce odezvy α(ω)=α₁(ω)+iα₂(ω) splňovat:

1. Póly α(ω) jsou všechny pod reálnou osou
2. Při integraci přes nekonečně velkou polokružnici v horní polorovině komplexní roviny, je integrál z α(ω)/ω roven nule
3. Pro $\omega \in ℝ$ je α₁(ω) sudá a α₂(ω) lichá

Potom platí:

${\alpha }_1(\omega )=\frac{2}{\pi }𝒫\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{s{\alpha }_2(s)}{s^2-{\omega }^2}\mathrm{d}s.$

a

${\alpha }_2(\omega )=-\frac{2}{\pi }𝒫\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\omega {\alpha }_1(s)}{s^2-{\omega }^2}\mathrm{d}s=-\frac{2\omega }{\pi }𝒫\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\alpha }_1(s)}{s^2-{\omega }^2}\mathrm{d}s.$

$𝒫$ značí hlavní hodnotu integrálu.