Hlavní hodnota integrálu

Šablona:Upravit Hlavní hodnota integrálu (Šablona:Vjazyce2) je metoda určování hodnot některých integrálů, které nelze standardně definovat. V závislosti na typu singularity vyskytující se v integrálu je hlavní hodnota definována jako konečné číslo:

• $\underset{\epsilon \to 0+}{\lim }[\underset{a}{\overset{b-\epsilon }{\int }}f(x)dx+\underset{b+\epsilon }{\overset{c}{\int }}f(x)dx]$

kde b je bod, ve kterém má funkce f následující vlastnosti:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\pm \mathrm{\infty }$

pro libovolné a < b a

$\underset{b}{\overset{c}{\int }}f(x)dx=\mp \mathrm{\infty }$

pro libovolné c > b (jedno znaménko je „+“ a druhé „−“).

nebo

• $\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-a}{\overset{a}{\int }}f(x)dx$

kde

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}f(x)dx=\pm \mathrm{\infty }$

a

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\mp \mathrm{\infty }$

(opět je jedno znaménko „+“ a druhé „−“).

V některých případech je nutné vypořádat se najednou se singularitami v bodu b a zároveň v nekonečnu. To se dělá většinou

$\underset{\epsilon \to 0+}{\lim }\underset{b-\frac{1}{\epsilon }}{\overset{b-\epsilon }{\int }}f(x)dx+\underset{b+\epsilon }{\overset{b+\frac{1}{\epsilon }}{\int }}f(x)dx.$

Související články

• Augustin Louis Cauchy