Logaritmická rovnice

Šablona:Upravit Šablona:Přesunout na Wikiknihy Logaritimická rovnice je tehdy, pokud je neznámá v logaritmu.

Příklad, jak může rovnice vypadat: $(3-x)\cdot \log x=(2-x)\cdot \log 4$

Řešení logaritmické rovnice

Odstraněním logaritmu

1. $\frac{1}{7}{\log }_2(3x-5)=0$
   1. Podmínkou je, že $3x-5>0$
   2. $3x>5$
   3. $x>\frac{5}{3}$
2. Z 0 uděláme logaritmus o stejném základu jako je na levé straně, čili o základu 2:
   $\frac{1}{7}{\log }_2(3x-5)={\log }_{2}1$
3. $\frac{1}{7}$ napíšeme jako exponent:
   ${\log }_2(3x-5{)}^{\frac{1}{7}}={\log }_{2}1$
4. Nyní můžeme odstranit logaritmus na obou stranách, protože mají stejné základy:
   $(3x-5{)}^{\frac{1}{7}}=1$
5. Z exponentu $\frac{1}{7}$ uděláme sedmou odmocninu:
   $\sqrt[7]{3x-5}=1$
6. Celou rovnici umocníme na 7:
   $3x-5=1$
7. Nyní to budeme řešit jako lineární rovnici:
   $3x=1+5$
8. $3x=6$
9. Celou rovnici vydělíme 3:
   $x=2$

Výsledek vyhovuje (dle podmínky) a tím je vyřešena logaritmická rovnice.

S pomocí vztahů které platí pro logaritmy

1. ${\log }_a\frac{b}{c}={\log }_{a}b-{\log }_{a}c$
2. ${\log }_{a}b*c={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$
3. ${\log }_a{x}^n=n*{\log }_{a}x$
4. $a^{{\log }_{a}x}=x$
5. ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{x}b}{{\log }_{x}a}$ Používá se u logaritmů s různými základy

1. rovnice

1. $(3-x)\cdot \log 2=(2-x)\cdot \log 4$

2. Roznásobíme závorky:

$3\log 2-x\log 2=2\log 4-x\log 4$

3. členy rovnice s x přesuneme na druhou stranu rovnice

$x\log 4-x\log 2=2\log 4-3\log 2$

4. Vytkneme x a na pravé straně použijeme vzorec 3.

$x*(\log 4-\log 2)=\log 4^2-\log 2^3$

5. převedeme závorku na druhou stranu a použijeme vzorec 1.

$x=\frac{\log \frac{16}{8}}{\log \frac{4}{2}}$

$x=\frac{\log 2}{\log 2}$

6. A máme tu řešení

$x=1$

2. rovnice

1. $x^{\log x}=100x$
2. zlogaritmujeme:

   $\log (x^{\log x})=\log (100x)$

3. použijeme vztahy 2. a 3.

   $\log x*\log x=\log 100+\log x$

4. log 100 = 2 a zavedeme substituci $\log x=a$

   $a^2=2+a$

5. Dostáváme kvadratickou rovnici $a^2-a-2=0$

$a=2$

$a=-1$

1. $x=10^2=100$
2. $x=10^{-1}=0,1$

1. Podmínky řešení neovlivní a tím je rovnice vyřešena.

3. rovnice

1. $x={\log }_{2}4-{\log }_{2}8+{\log }_{2}16$
2. Použijeme vzorec 5.

$x=\frac{{\log }_{2}4}{{\log }_{2}2}-\frac{{\log }_{2}8}{{\log }_{2}2}+\frac{{\log }_{2}16}{{\log }_{2}2}$

1. $x=\frac{2}{1}-\frac{3}{1}+\frac{4}{1}$
2. $x=3$

S pomocí kalkulačky

1. $(3-x)\cdot \log 2=(2-x)\cdot \log 4$
2. Vynásobíme závorky s logaritmem:
   $3\cdot \log 2-x\cdot \log 2=2\cdot \log 4-x\cdot \log 4$
3. Výrazy s neznámou x osamostatníme na jednu stranu rovnice:
   $-x\cdot \log 2+x\cdot \log 4=2\cdot \log 4-3\cdot \log 2$
4. Vytkneme x:
   $x\cdot (-\log 2+\log 4)=2\cdot \log 4-3\cdot \log 2$
5. Připravíme si rovnici k vyřešení a vypočítáme na kalkulačce:
   $x=\frac{-\log 2+\log 4}{2\cdot \log 4-3\cdot \log 2}$
6. $x=\frac{-\log 2+\log 4}{\log 4^2-\log 2^3}$
7. Vypočítáme na kalkulačce:
   $x=\frac{-\log 2+\log 4}{\log 16-\log 8}$
8. Výsledek je:
   $x=1$

Tím je vyřešená logaritmická rovnice.

Substituce

1. $({\log }_{2}x{)}^2-{\log }_{2}x-2=0$
   Poznámka: $({\log }_{2}x{)}^2={\log }_2^{2}x$
   1. Podmínkou je, že $x>0$
2. Zavedeme substituci $a={\log }_{2}x$ čili:
   $a^2-a-2=0$
3. $(a-2)(a+1)$
4. Nyní máme výsledky kvadratické rovnice:
   1. $a_1=2$
   2. $a_2=-1$
5. Vyřešíme obě rovnice:
   1. ${\log }_{2}x=2$
      1. Z pravidla víme, že $y={\log }_{a}x=>a^y=x$ čili:
         $x=2^2$
      2. $x=4$
   2. ${\log }_{2}x=-1$
      1. Z pravidla víme, že $y={\log }_{a}x=>a^y=x$, čili:
         $x=2^{-1}$
      2. $x=\frac{1}{2^1}$
      3. $x=\frac{1}{2}$

Oba výsledky vyhovují (dle podmínky) a tím je logaritmická rovnice vyřešena.

Související články

• Logaritmus
• Rovnice
• Lineární rovnice
• Exponenciální rovnice
  • Umocňování
• Substituce (matematika)
• Kvadratická rovnice
• Vytýkání