Lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty

Obyčejná lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty, krátce lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty je důležitým typem diferenciálních rovnic, které lze explicitně vyřešit. Obecně má tvar:

$a_n{y}^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_1{y}^{\prime }+a_{0}y=g(x)$

kde

• $a_0,a_1,\dots a_n$ jsou konstanty; aby rovnice byla skutečně n-tého řádu, musí být $a_n\ne 0$ (a bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že $a_n=1$)
• $x$ je nezávislá proměnná,
• $y$ je neznámá funkce proměnné $x$, tj. $y=y(x)$,
• $y^{\prime },y^{″},\dots y^{(n-1)},y^{(n)}$ jsou derivace funkce $y$ až do řádu $n$
• $g(x)$ je libovolná funkce proměnné $x$.

Postup řešení

Při řešení lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty se nejdříve řeší přidružená homogenní rovnice, v níž je $g(x)$ nahrazeno nulou; její obecné řešení označíme $y_h$. Pak je nutné nalézt alespoň jedno partikulární řešení $y_p$ původní rovnice. K tomu je možné použít metodu variace konstant nebo řešení odhadnout podle tvaru funkce $g(x)$. Obecné řešení původní nehomogenní rovnice je pak součet

$y=y_h+y_p$.

Homogenní rovnice

Homogenní rovnice n-tého řádu má tvar:

$a_n{y}^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_1{y}^{\prime }+a_{0}y=0$

Důležitou charakteristikou takovéto rovnice je charakteristická rovnice:

$a_n{\lambda }^n+a_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +a_1\lambda +a_0=0$

V případě, že má polynom jen jednoduché kořeny ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$, je obecným řešením rovnice:

$y=C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x}+\cdots +C_n{e}^{\lambda nx}$

V případě, že má kořen ${\lambda }_i$ násobnost k, pak je zřejmé, že uvedené řešení by neobsahovalo dostatečný počet integračních konstant. V tom případě využijeme skutečnosti, že rovnici řeší i tyto lineárně nezávislé funkce:

$e^{{\lambda }_{i}x},x{e}^{{\lambda }_{i}x},x^2{e}^{{\lambda }_{i}x},\cdots ,x^{k-1}{e}^{{\lambda }_{i}x}$

které ke k-násobnému kořenu poskytují právě k lineárně nezávislých řešení. Obecné řešení (obecný integrál) je pak lineární kombinace uvedených funkcí, pro všechny kořeny s libovolnou násobností. Protože je součet násobností všech kořenů roven n, má výsledné řešení n integračních konstant.

Literatura

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie

Související články

• Obyčejná diferenciální rovnice
• Lineární diferenciální rovnice