Cardanovy vzorce

Cardanovy vzorce jsou matematické vzorce, které se využívají k nalezení kořenů kubických rovnic. Jsou pojmenovány po Gerolamu Cardanovi.

Historie

Řešení je možné nalézt díky dvěma italským matematikům Scipionemu del Ferrovi a Niccolò Tartagliovi, žákům Gerolama Cardana.

Postup

Rovnici nejprve převedeme na normovaný tvar (vydělením vedoucím koeficientem)

$x^3+a{x}^2+bx+c=0.(1)$

Substitucí (posunutím proměnné)$x=t-a/3$ odstraníme kvadratický člen, dostaneme rovnici

$t^3+pt+q=0,\text{kde}p=b-\frac{a^2}{3}\text{a}q=c+\frac{2a^3-9ab}{27}.(2)$

Tuto rovnici můžeme řešit díky Thomasi Harriotovi (1560–1621) substitucí $t=y-\frac{p}{3y}$ a vynásobením $y^3$, po snadných úpravách dostaneme $y^6+q{y}^3-\frac{p^3}{27}=0$, kterou jednoduše vyřešíme převedením na kvadratickou rovnici substitucí $z=y^3$.       Dále popíšeme originální Cardanovu metodu, která stále dominuje v dnešních učebnicích a je v podstatě stejná. Předpokládejme, že lze nalézt dvě neznámé u a v splňující

$t=u+v$

Tento výraz dosadíme do původní rovnice a po roznásobení dostaneme

$u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0$ (3)

Genialita Cardanova řešení spočívá v zavedení podmínky

$3uv+p=0$.

To je možné, protože jsme zavedli dvě neznámé u a v spojené jen podmínkou u + v = t. Substitucí tohoto do první rovnice v (3) dostaneme

$-u^3+\frac{p^3}{27u^3}=q.$

Přesuneme všechno na q stranu, vynásobíme rovnost u³ a dostaneme

$u^6+q{u}^3-p^3/27=0.$

Toto je kvadratická rovnice pro u³. Pokud budeme řešit tuto rovnici, zjistíme, že

$u^3=-\frac{q}{2}\pm \sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}$

$u=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}\pm \sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}.(4)$

Protože t = v + u, t = x + a/3, a v = −p/3u, dostaneme

$x=-\frac{p}{3u}+u-\frac{a}{3}.$

Všimněte si, že máme šest možností počítání s u (4), protože existují dvě řešení, díky druhé odmocnině ($\pm$), a tři komplexní řešení třetí odmocniny – hlavní odmocnina a hlavní odmocnina vynásobená $\frac{-1}{2}\pm i\frac{\sqrt{3}}{2}$. Nicméně znaménko druhé odmocniny (plus nebo minus) neovlivní výsledné t (zřejmě −p/3u = v), ačkoli musíme být opatrní ve dvou zvláštních případech, abychom se vyhnuli dělení nulou. Za prvé, pokud p = 0, pak u = 0 a

$v=-\sqrt[3]{q}$.

Za druhé, pokud p = q = 0, pak dostáváme trojnásobný reálný kořen t = 0. Taky pokud q = 0, pak

$u=\sqrt{p/3}$ a

$v=-\sqrt{p/3}$, takže třetí odmocniny jsou t = u + v = 0,

$t=ju-p/3ju=\sqrt{-p}$ a

$t=u/j-jp/3u=-\sqrt{-p}$, kde

$j=\frac{-1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Shrnutí

Pro kubickou rovnici

$x^3+a{x}^2+bx+c=0$

řešení pro neznámou x dostaneme jako

$x=-\frac{p}{3u}+u-\frac{a}{3}$

kde

$p=b-\frac{a^2}{3}$

$q=c+\frac{2a^3-9ab}{27}$

$u=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}\pm \sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}.$

Alternativní metoda získání stejných výsledků je následující.

Víme, že $u^3=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}$ nebo $\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}$ .

Ale protože u a v musí splňovat $-u^3-v^3=q$ a $-uv=\frac{p}{3}$ , můžeme dokázat, že pokud

$u^3=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}$ , pak $v^3=-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}$.

Vypsáním třetích odmocnin dostaneme

$u=\{\begin{array}{cc}& \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}\\ & (-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}\\ & (-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}\\ \end{array}av=\{\begin{array}{cc}& \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}\\ & (-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}\\ & (-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}\\ \end{array}$

Nezapomeňte, že díky $t=u+v$ dostaneme jenom tři možné hodnoty t, protože jsou možné jen tři kombinace u a v, pokud $-uv=\frac{p}{3}$ , takže musí platit –

$t=\{\begin{array}{cc}& \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}\\ & (-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}\\ & (-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}\\ \end{array}$

a x dostaneme jako $x=t-\frac{a}{3}$

Všimněte si, že dosud uvedené metody použijeme, pokud p a q jsou komplexní. V případě, že p a q jsou obě reálná, může být elegantní následující řešení:

Označme tzv. diskriminant rovnice

$D=\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}$.

Potom platí:

1. Pokud D je kladné, pak dostaneme jeden reálný a dva imaginární sdružené kořeny.
2. Pokud D je záporné, pak dostaneme tři reálné kořeny (tzv. casus irreducibilis).
3. Pokud D = 0, pak existuje jeden trojnásobný reálný kořen anebo dva reálné kořeny (dvojnásobný a jednoduchý).