Multilineární forma

Multilineární formu lze intuitivně chápat jako zobecnění lineární formy, eventuálně bilineární formy. Jde o zobrazení kartézského součinu vektorového prostoru na těleso jeho skalárů. Multilineární forma musí být v každé složce (proměnné) lineární zobrazení, to znamená, že při zafixování n-1 proměnných získáme lineární formu.

Definice

Nechť $Y$ je vektorový prostor nad tělesem $T$. Pak funkce

$\xi :Y^n\to T$

se nazývá multilineární forma, pokud pro $z\in T,w,v_1,...v_n\in Y$ platí následující dva axiomy:

$F(v_1+w,v_2,...v_n)=F(v_1,v_2,...v_n)+F(w,v_2,...v_n)$

$F(z\cdot v_1,v_2,...v_n)=z\cdot F(v_1,v_2,...v_n)$

Jedná se tedy o vektorovou funkcí více proměnných, která je v každé proměnné lineární. Multilineární forma je tenzor.

Antilineární zobrazení

Pokud by bylo z komplexní číslo, pak se v případě, že platí za stejných výchozích podmínek následující axiomy:

$F(v_1+w,v_2,...v_n)=F(v_1,v_2,...v_n)+F(w,v_2,...v_n)$

$F(z\cdot v_1,v_2,...v_n)=\bar{z}\cdot F(v_1,v_2,...v_n)$

jedná o antilineární zobrazení.

Příklad

Každá lineární i bilineární forma jsou multilineární formy.

Multilineární formou v prostoru se skalárním součinem je vnější součin vektorů.

Literatura

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie

Související články

• Lineární zobrazení
• Lineární forma
• Bilineární forma
• Kvadratická forma